SI

TT(i — ^'«op)(i — ^"'9-p)

I I M(i — ^'»0P) (i - <7"^0-p) Or, on a

V— 1 TCJ t~2~ gT

D'ailleurs, p étant <v, les facteurs 2sin ^ sont tous réels et

positifs; donc

I I 2 sin -^ =-1- /v.

D'autre part,

JJ(i^/»OP)(i^/«e-p) = TT(r — ,7'«6p)

P on aura

I — ÇrWV

Donc

■(ïf

Relations linéaires entre les diverses quantités A» ou A 24

On connaît déjà une expression de A^ en série, savoir

) ^(—0 "- nq'- (n = i, 3, 5, ...)•

Ily a une expression analogue, pour A- \ d'après la formule (t. J,

p. 4io),

qui donne

Qo = (i-î«)(i-?')(i-'7=)---.

Dans la formule

SToC^ ="£J(l - q^l'-'z^) (l - q-^P-^z-'-) (I - q^P)

(p = 1, •>., 3, ...), ^^i-i)Pqf>'-z^P

faisons

il vient

qip-iz^ = x^P-\ q^-P-'^z-^- = x^P-^, q^P = x'^P.

Les nombres 3y> — i , 3/> — 2, 3/> forment tous les entiers possibles. On a donc

JJ(i-^/^)=2(-iy'^

formule due à Eu 1er Donc

Gela posé, soit Ax le discriminant correspondant aux périodes

9,W , îzXw ^ ,

et 2 co', et soit

On aura

J /7r\2^ ijîl^ '6p+l)- (6/>+l)^

ne" ~^ '- q'^'

J^oiirles périodes — et 2 w on aura im dernier discriminant A

rt— 1 n'y

Supposons d'abord v = 3.

On se convainc c|u'il n'y a pas de relation linéaire enti

les Ax et A'^'. Mais considérons les expressions

et faisons \ = o, (S, 16. Toutes les fois que n est premier à 3, la

somme des termes correspondants dans les trois Ax est nulle. Si // est divisible par 3, ces termes sont égaux et s'ajoulent. Donc

\^ UJ /

n — \ in-

En outre, soit A la somme des termes où n n'est pas divisible par 3, B la somme des autres, abstraction faite du coefficient exponentiel, on a