A3 =. OA + B

On en conclut

Telles sont les deux relations linéaires qui expliquent com-

menl —^ est soliilion d'une équation linéaire du second ordre à

coefficients rationnels.

Soit V un nombre premier impair quelconque, et prenons

•24 Dans Ja suite des nombres impairs /?, distinguons : i** les multiples de V désignés par n^); 2" il v a ensuite — ; — résidus quadratiques [j, , ^^2? ■ • ' j ?v-n ce qui donne lieu à distinguer les nombres //,, /?2, •••, /^-n dont les carrés sont congrus à ces résidus ( mod. v). On aura ainsi

— Ao -1- Al + . . , + A V - 1 ,

= Ao -1- e x\i-4- . . . 4- e ' Av-i,

^Xo-^G Ai + ...-i-e ' Av-i,

d'où il résulte par addition

A^, + Aji-i- . . . 4- A(v i)n = Vv A

puis, par élimination des A, v— ^—- = ^^^ — relations linéaires

homogènes entre les A). Pour les obtenir, multiplions ces équa-

lions respectivement par i , e '' , e ^ , . . . (y étant un non résidu) et ajoutons-les ; comme il est certain que y — ^^ n'est jamais nul, il viendra

1 6? 71 y 1 6i'v — D/ir X

254 TROISIÈME PARTIK^.

On trouvera de même (en remarquant que les nombres 6p + i reproduisent tous les nombres possibles, aux multiples près

de v)

Calcul des fonctions symétriques.

Soient <f, h, c, ... les p — d'une même classe, en nombre

a, b, c, «I, ^i, Cl.

rty, yv> Cv,

les V + • classes.

Tij = a + 6 + C H- . . . ,

712 = a^ + 6c -h ca H- . . . ,

On a

V 1 = abcd. . .

Al A,

Ayant ici s ~ —^ — , la première équation (5) deviendra 6 Al — vDA = o;

d ou

vDA

On a d'ailleurs

S7ri = o.

La deuxième équation donne ensuite

OU

or= 5.4-2 + ^^(v-i-6) Ç-^ -^DttiA

d'où

20 7Î9 H (v-T-(d)-^ — 611? -i- V Dtci ;

Soit

on a

et par suite

TI I =z ^2-1- 2 TT2 .

4 2^1 - ,0 s ., + (iii>i:i^^A)(iztA) ^, = o.

On peut déterminer S52 par le mojen de la fonction tj^v Remar- ([uons, en effet, que cette fonction satisfait à une équation aux dérivées partielles, toute semblable à (3), sauf le changement de v en V-. De plus, son premier coefficient oA., correspondant à A, est une constante. En désignant parTl^, 112, • • •• S<, So, • • . les sommes analogues à 7r^, 1:2? • • ■> S\> ^2^ . . ., on aura donc entre ces quantités des relations analogues à celles qui existent entre ces dernières quantités, sauf les modifications ci-dessus,

puis

et d'où

o.3.4n,+ l^ili^^!i^£^ = o

I0S52= 1082 = — 20n2= ^ ' gi

et enfin

L'équation suivante est