CC~ —^ — ^0^ — S

Donc

„ f (ce) V — I f{x) 1

D/ ..„., ox/^l/' ^"i. „\ 4v-3 /'

f" — '-j{\OC^—g%X — gz) -^- >^0-2^-+ ^1

— [v(v— i)x -\-Ç>Si]j.

Par là on a toutes les équations récurrentes.

Si maintenant on détermine une constante A par la condition

et que l'on pose / = A/, on aura

et si Ton fait en outre x ^=^pu, il viendra

é(|uation déjà établie autrement.

La même analyse abrégée. — Nous avons

vf {a)\)a^-f'{a) ^('^v — 3)a2- ''^' ^

Considérons le polynôme

^ — /"(^) (4^^ - g-ix — ^3) ; on a

[Df{x)\,=a -\-f{a)V>a = D/(a) = D(o) = o.

Ainsi «|i(<2) = o, quelle que soit la racine a que l'on considère.

Donc '^{x) '=^ f{oo) B(^), et il n'y a plus qu'à déterminer le polynôme %{x). D'après les degrés connus de ^(^) et de ./(^), il doit être du premier degré.

Nous déterminerons ses coefficients par la comparaison des deux termes de degré le plus élevé.

Soit

fi^x) — x'^ — TTi^"-! -i- Tz^x"-^ — ... ( n = j«

Les termes des degrés les plus élevés dans ^{x) sont

2(2V — 3)372 [,î57«-l (;^— l)7ri^«-2]

— 4x^[n(n — i)x^^-^—TZi{n — i){n — •2)x'^-^]

(2V— 3)(v~i) X^+i — (2V — 3)(v— 3) TTia?"

Donc

f{x) =z v(v — i):p«+i — (v — 3)(v + 2)ir«+ ...

= (^« — TTiO;''-! + . . . ) [v(v — l)iP+ ÔTT,],

6 (^) = v(v — i)iJ7-l-67ri , et par suite

[ (4:r3-^2:r-^3)/"-[2(2v-3);r2-^^^^2]/'-vD/

Substituons dans cette expression la valeur de/(^); le coefficient de œ^^^y égalé à zéro, donnera

/ (2^-+- 3)(2/--f- 2)7ryt^, +r2 (^ -^ • — 2^")(v -f-6A')7ryt-i^2 j (A) I /v — I /\ /^-i ,\ r. ^ i "=°-

h 2 — A- r-I — /l-^3 7:/,-2 4-vD7ryr.— e-iTTA-

En particulier, pour

k — o, 3.2711 — 6711 = 0, (A,) k=i, 5.4712 -4- A^(v-i)(v-}- 6)^2 -67rf+vD7ri=o,

( — 6711712 4- vDtTs = O.

Ces formules récurrentes permettent de calculer toutes les fonctions symétriques entières de 7:<, tïo, .... Supposons, en effet, calculées toutes les fonctions symétriques de poids A", y compris celles où figurent des symboles D, en sorte que Dti^ soit de poids /' H- I , et proposons-nous de calculer les fonctions symétriques de poids /: + i •

Soit par exemple k = 3. On aura neuf fonctions inconnues

S7r4, S7r3 7Ti, 27r|, S7r2 7rf, E7r2D7ri, 27rfD7ri, S(D7ri)2^ S7:iD7r2 I^tz^D'-tzi,

et, pour les déterminer, on aura neuf équations linéaires obtenues comme il suit :

Trois équations

2(Ai)7r2=o, S(Ai)7rf=o, E(Ai)D7:i = o

obtenues en multipliant le premier membre de l'équation (A, ) par les fonctions de poids 2, tt^, ti:;, Dtïi et faisant la sommation. Les équations analogues

2(A2)7ri = o, SD(Ai)7ri = o.

L'équation suivante

déduite de A pour /r = 3.

Les équations

22(D7ri)2-4- 27riD27:, =- D2S7Tf .

Enfin l'équation

Mais ce sont des calculs atroces.

Voici une autre manière de procéder. En posant

l'équation différentielle (-) peut s'écrire

I cp(X'-f-X2)-r2(2v-3)^2 4lzJ^Jx (B) ■- ^

Considérons les divers facteurs y",/, , . • .,/v dont le produit fait % = r [x). et posons -i=^7 — - = A; on aura

Nous aurons pour F l'équation analogue (en remplaçant v etTïi par v- et o)

Cp(A'+A2)— [2(272 — 3)^2. ^:^!l^ ^■1a + v2(v2— l):r— V2 ^Îl = Q.

Faisons la somme des diverses équations (B), il viendra

Cp(A'+SX2)-r2(2V-3)^2 4lri^^o.jA + v(v2-l)^-V^ = O.

Éliminant -7^ > on obtient

cp[(v — i)A'— A2-f- vi:X2] + (v — i)Ux'^— - ^2) A = o.

On connaît ainsi SX, SX^. Si l'on peut obtenir également SX^, SX^, . . . , on pourra former l'équation dont l'inconnue est \, Différentions l'équation (^) après l'avoir mise sous la forme

?/"+ I ?'/'- 4v (^2-i ^-2)/'+ [v(v- i)^ + 67ri]/-v D/= o; il vient

+ [v(v-a)xH-6xi]/'+v(v-i)/-vD/'=o.

^b4 \ TROISIÈME PARTIE..

+ [v(v — Çf)x -h 6711] - + v(v — l) V -—- =0.

L'équation primitive, multipliée par — ^~ , donne d'autre part Ajoutant, on a

ou bien

/■\" , (f''\'^ . .'\'^if'\ , /"i , ' ."f

•[(f)*(^?)]-iUf)-a-.'/

Cp[X"+ (X2)'] 4- cp' [f )/+ X2] -+- \ cp"X

— 4v(a72— -|^-2))/— 8V^X -4v(v — 1) — VDX =0.

Multipliant par À, il vient

cp[i(X2)"-iX'2+|(X3y]H-o[|(X2y-f-X3] + icp''X^

2v(^2|^,)(X2y 8v^X2 + v(v— i)X DX2 = 0

En faisant la somme, multipliant par v et retranchant l'équatioi analogue pour A, on obtient

Soit et soit

le développement de pu suivant les puissances décroissantes de .r, on aura

p'ii = z'p'u = z.'\/o,

i-Cp'= 6^72—1^,,

i ^'cp' = 6:r2 - (6pi + 5 .^--a) +^ ;^;7r '

ji{n + i)p// m: '

5"cp + \z'o' = 6:r2+ 2pi — i^2

'^ / -2(71-+- i)(2n^-T)p/i+i S'i?ii-\ \ \

1 \ —{n—i)[n — i)g-iOn+i G s2— i ^2 = 6:p2 ^ 1.2 pi +2 G (2 Q,,+i -+- 2 On-\ pi -^ '^ ?'7-2 P-2 -^ • • • ) ^,

Identifiant ces deux développements de jj'^^ il vient

i9\ — \gi= «2pi — i^2, d'où

gt— gi = 20 pi'

puis une série de formules récurrentes pour les p.

Pour

n = i, 2.9P3 — |^2pi — 6p? = 0,

Al = 3, 22.IIp4— 5^2p2— '-i^Spl— I2pip2= O,

Les coefficients p^- se calculent au moyen des sommes des puissances semblables des racines de/".

On a, en effet,

Le terme en œ dans le second membre a pour coefficient