V -h 4 5o — 6^0=1 ( car ^o

Le terme constant sera

85i — 6^1 — 2Si = o; et, en général, le coefficient p,^ du terme en — sera

= 2{2n-{-l)Sn^i g^Sfi-i— (fl — l) ^^S,i-2'

En particulier,

Pl= 652—^^2^0,

Par les relations entre les Si, on aura des relations entre les p^-, et l'élimination fournira des équations algébriques pour chaque pi.

Soient a^ = pa, <72 = P^a, . . . , a^^ = p — — a les racines de

f{oc), et soit

i2 = ll{ai—aj)

Cherchons à déterminer DQ.

On a

DQ ■v^ J}ai—Y)aj

■^=2^ a,-aj ^J>'^

Da,-

Or nous avons trouvé

(8) vDa,= 2(2v - 3)«? - i^ g,- r^{ai)Ç^:

en posant, pour abréger,

l^a^— g^a~ gi^^{a).

D'ailleurs on a

fiai) jUai —

Divisant l'équation (8) par ai — ay, et sommant par rapport à i et y, il viendra

il ^ ai — aj Jmd {cii— tij ) {ai — a^) \k\i)

Pour calculer la première somme, permutons-j les indices i et y et prenons la moyenne des résultats. Elle sera égale à

2(2V — 3)^^-^^ai

Dans la seconde somme, nous distinguerons les termes où k'^ j de ceux où k=j. La somme des premiers sera (en permutant circulairement les indices)

^ liai ~ aj) {ai - a/, ) ' ( aj - a/ ) ( aj — a;,) ( a/, — a,- j ( a/, — ^ /) J

ou, à cause de l'identité

^ai-aj){ai~a/,) (cij - ai){aj~ a/,) "" («a-- «/j («a--^ «y ) "~ ' — - y r ?(^/) — ?(<^A-) ^ cp(a/) — cp(a/,) 1

^ __ 4 y cp(a/) — cp(a/,) 3 ^ ( a/ — ay) ( a^-— a/,)

3 ^ a/ — ay

ou, en permutant / ety et prenant la moyenne,

— ^-^(«/-f-^y-i-^^A)^^-- lô^a/^ — 4(v-3)(v — 5).ç,.

Reste à calculer la somme des termes où A" =j\ à savoir :

^{ai—ajY^ Zà {ai — ajf

Or on a, par le théorème d'addition,

4L at—aj J

4 L cLi— aj J

et, en ajoutant,

2 «/ ^ 2 aj -^ Œi^j -f- a/ / = - ' " L^^ .

2 iat—aj)-'-

La somme cherchée est donc égale à

— 2^ (2a,- -H 2«yH- a/+y-l- at-j) = — i2y a/ = — 6(v — 3)5i.

FRAGMEiNTS DIVERS. 269

On a donc enfin

DQ

V — - [2v - 3 - 4(v - 5) - 6j(v - 3)si = - (v — 3) (2v - 11)5,.

Comparons cette équation à celle qui détermine A,

On aura d'où

DA

tT

ili)

ti

FIN DE LA TROISU:iIE PARTIE.

FRAGMENTS