CHAPITRE I

OÙ 2CÔ est une période. Le facteur A'' est introduit pour lournir une fonction homogène du degré zéro.

Quand on ajoute une période à l'argument d'une fonction a", cette fonction a* se reproduit, multipliée seulement par une exponentielle; c'est donc une pareille modification que subit la quantité A quand on modifie 20) en y ajoutant le produit d'une période par n. Mais il importe de remarquer le cas où cette période ajoutée est 2CÔ. On a

Il / \ ri y

D'autre part, si, au lieu de aw, on j)renait, pour former a, la période 2(/z + i)oj, il faudrait, au second membre (38), mettre (/? 4- i)y; au lieu de •?;. La relation

e "- zzz e '^ e v« / ,

combinée avec la précédente, donne

C'est le résultat que nous voulions établir. On doit se rappeler que £ est égal à — i quand co est effectivement une demi-période : £ est égal, au contraire, à + i quand cÀ) est une période.

Soient 2to et liû' les périodes que l'on choisit pour former la quantité r/, qui apparaît dans les développements en séries; on aura

w = Ato -h k'

k et k' étant des nombres entiers. Employons la quatrième formule (22) de la page 4oo (t. I), savoir :

■f\ii

>M z — z-^ -|-T I — 7'" z-^ pr I — <7'" . 71 li J.JL F — q'"- LA • — </'

l'Ku

■1 HJ ^'1

i2 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMEXTS.

]Nous y mettrons — au lieu de u. On a d'abord

ru- l'rGï- iG) /,. A' iiz. 2,r.M kk' i- k'-l- m

'2i0 /i-w n-M \ '}. ] 11- 11- II- to

■(])i- 2ri(7) klx'iTZ A'\^

JdTZ /£

zzzz e " q" ' SI, pour abréger l'écriture, on pose

après avoir multiplié par A^-, suivant la formule (t. I, p. -io'ii) (4o) AT2 = ^^cn(,^m)2,

on obtient le développement demandé

\\) l l—\ = «^«Aa2 q'^'M~^ (i — a^'Q2A')"rT(, a/^Q/««+2/.'^(, ^-A-qmn-iA').

Les quantités 0^,.

Nous avons précédemment, dans la division par 5, été conduits à distinguer les diverses racines par un indice |ji, choisi de telle sorte que la racine d'indice tJi corresponde à l'argument |(co'-4- [xto); tandis qu'une autre racine, sans indice, correspond à l'argumenl |co. Cette notation se rapporte, d'ailleurs, à un choix arbitraire des deux périodes 2(0 et 2 w'.

Il y a lieu, dans le cas le plus général, d'employer une semblable notation. Nous considérerons (/i-f-i) arguments iv, çvo, çvi , . . . , w,i-\ , définis ainsi :

(42) w = - — -, Wjj, = - (w -f- [JLW), [JL = o, I (n — i).

Avec chacun d'eux, nous envisagerons ses multiples en nous bor-