CHAPITRE I

nant à le multiplier par i , -i, . . . , (/? — i). Ces (/i — i) mulliples

sont, tous, de la tbraïc ^ — ■> Pour chacun d'eux, nous prendrons

la quantité A et nous ferons le produit de ces (n — i) quantités A. Pour une raison que nous allons d abord reconnaître, nous envisagerons ce produit comme un carré ; nous le dénoterons par fj- ou par Gy , suivant qu'il dérivera de w ou de w^,. Nous posons donc

i 02 — X w . l'2iv. . . l{n— \) w ,

( 6a = X Wy . X 2 M'u. . . . X ( /i — [ ) (Vjj..

D'après une propriété fondamenlale de la fonction a', on 'i(n~r)i7) 9.rû) 2ritb(i-^)

pourvu que co ne soit pas une période, ce qui a lieu effectivement quand 2cô est égal à nw ou à nw^^^ ilù' etaco formant, on le suppose, un couple de périodes primitives. D'autre part, d'après la définition de X, si l'on y remplace tô par {n — 'jw, il faut, au second membre (38), mettre aussi (/i — r)f^ au lieu de -^. L'identité

i\i:ùÇ— — \\

combinée avec la relation précédente, donne donc

Si donc 11 est un nombre impair, les seconds membres (43) sont des carrés et Ton peut en conclure

Quand n est pair, il j a un terme milieu lô), que déjà (t. 1, p. 4^^^) nous avons vu sous forme de carré, et B- se présente encore sous forme de carré.

Dans le problème de ladivisionpar5,lcs quantités ô- (avec /? = 5) se présentent d'elles-mêmes ; on a, en effet,

(44) a-i = p-3- -PT = 7;^^^7^^ = ):Ti^x^=^ " ■

24 TROISIÈMI-: PARTIE. — FRAGMENTS.

Par conséquent, au fadeur A' près , les racines ^, t^ coïncident avec les inverses de 8- et de 9J. On comprend maintenant la raison pour laquelle il v a lieu d'envisager, dès à présent, les déveoppements de ces quantités B.

Développements des quantités 6jj^ en produits. Le rôle dissymétrique que l'on fait jouer aux deux périodes

■20)' et 2(0 dans la quantité q entraîne une différence entre les développements de 9 et des quantités analogues 8(j. Pour 8, la formule (4^) donne d'abord, A' étant nul,

X(/np) r= ir/> oL~^(i — 7.'') I f (I — a/'-Q""') (i — a-/'Q/"«)-

En |)renant successivement A = i , 2, . . ., [a — i ) et multipliant membre à membre, on obtient, pour les premiers facteurs, le produit

i\ -ji(n-i) / 2\/z— 1 —{„-\)lTz

J^e terme général 1 — yh(^mn . j — a^^'« fournit le produit

(\ —%q"' ) (l — vP-q»^). . . (1 — 7.'>-'^q'") = '

c'est le même résultat que fournit le terme i — 7^^Q'"", en sorte (pie l'on a

( 15) 0^ = nq '. J J(i j , ,„ ^ ,,1,6, . . . , ^.

(considérons maintenant 8ii, et, pour ce but, prenons A ( -^ )j en supposant

= hw^^s /v=:A|JL, /t' = h.

On aura, en ce cas, en mettant 2/? au lieu de /?z.

CIIAPIÏHE I. 2D

car a est une racine /i' ""^ de runilé. Les facteurs

I .. rjj, Qik'^ r — a^^' Q "' « + 2 A '

de la formule (4' ) donnent ainsi des facteurs ayant la forme

OÙ p = o, 1, '2, . . .. Si l'on prend tous les pareils facteurs, avec h = i, 2, . . ., (?i — i), \es exposants pn -+- A reproduisent tous les entiers positifs, chacun une seule fois, à l'exception des mul'iples de n. De même, les liicteurs

dans ces mêmes conditions, reproduisent les mêmes exposants. J^e produit de tous ces facteurs est ainsi

Il II

n[,-t.,Q.j/j^ = TT( -"-^-^' - q" ) ' '" = ^. 1. 6. . . . , •-

\in dernier lieu, les i acteurs

par suite de l'égalité

donnent le produit

en sorte que l'on a finalement

(46) .a=^«-.. - ? "'nlS-:r^-)-

L'attention est, de suite, appelée sur le produit de toutes les quantités ^'^.

(n-—\]\J./Tl n-—\

'6~n ^-"" li/z

Pour une même valeur de ^ifi^ non multiple de n^ les fadeurs

OÙ |JL = o, I, . . ., (/i — i) , donnent le produit i — ^'", de sorte que les factorielles II des diverses quantités BJ fournissent, pour produit,

OÙ \^in doit être non multiple de ii. C'est justement l'inverse de la factorielle qui figure dans 0^, en sorte que l'on obtient

nin-\\ , , .-. ..'"l^

Au cas 11 = 5, on a ainsi

et, par conséquent, suivant l'égalilé ( 44 ) ce qui est conforme à l'équation (g).

Développements des quantités 0,j, en séries.

Les factorielles qui figurent dans l'expression de Gm se développent en séries, d'après une formule extrêmement remarquable. On la doit à Euler et elle se démontre très aisément par la considération des séries !^.

Prenons l'expression de .^o en série et en produit (t. 1, p. 4^9)5 en j mettant z pour l'exponentielle e'^", dénotant, de plus, les nombres pairs m par 2/?, les nombres impairs n par ip — i . Nous avons ainsi