CHAPITRE I

Désignant par x une varial)le, prenons

Nous avons alors

On voit que tous les nombres entiers positifs sont reproduits, chacun une seule fois, dans les exposants du second membre^ par conséquent,

y ( - xWx ' - JJ (i-xP) = (I- x)(i-x'^)ii--x^)...

Telle est la formule qui a été trouvée par Euler et dont il a tiré des conséquences arithmétiques sur lesquelles nous aurons à revenir. Elle fournit, notamment, pour le discriminant, un développement dont nous n'avons pas encore eu l'occasion de parler. D'après l'égalité (40), en effet, il en résulte

(pp-h\)-

Nous désignerons par ¥{q) cette série

(48) F{q)^^{~i)i>qi''-'f'-^'^= I^2,y4.i-^i04^u^24....

Pour les quantités B, les développements (45, 46) donnent

(49) \ / [ii^ ''\

Un autre développement a été trouvé au tome I [p. 209, éq. (47)]'

savoir

i/(iy ^'-^ ("0" i'^p + 0 'z '

ip+l)

en sorte que la comparaison avec l'expression ci-dessus donne

(II) F3(^) = I— 372^^ 376 ^^12^ .__^ (,)/. (2^^ |l)^p (/;+!)__

II en résulte pour Q'* et B], des expressions explicites par les quotients de deux séries.

Les quantités 0 dans la division par 5.

Les quantités 9, 9,^ sont au nombre de (//-f-i); on peut les réduire à des quantités distinctes, en nombre moindre. Nous nous occuperons, quant à présent, du seul cas n = 5. On a, en ce cas,

Dans la série F, en numérateur, envisageons les termes pour lesquels le nombre p, de la formule (4^)? est, ou bien multiple de 0, ou bien multiple de 5 plus 3. En ces deux cas, l'exposant />(3/; + i) est un multiple de 5. C'est, en outre, un nombre pair.

ÎXfTT

La quantité e ^ , élevée à une puissance marquée par cet exposant, donne l'unité. Le numérateur est donc partiellement composé de la série

Vi— \ v~ q^— q^~ q^'*— q^^' . . . ,

provenant de ces termes et où ;jl n'apparaît pas.

Envisageons, en second lieu, les termes oix p est multiple de 5 plus I ou plus 2. L'exposant /?( 3/? -f- i) est alors de la forme I ()/>'-!- 4, et l'on a

L'ensemble des termes q'-P' compose la série suivante, changée de signe

Enfin, les termes où p est multiple de 5 moins i sont affectés de l'exposant p{?>p -\- i ), qui est de la forme \op' -{- 2, et l'on a