CHAPITRE I

['ensemble des termes q-P compose la série

Effeclivement, en supposant /? = — 5rt — 1, on a

(Gp + l)- -'i -P^-^- 1 I-

On a, finalement,

tandis que la première formule (49) donne

Développement des racines de la résolvante du cinquième degré.

Il nous faut, des expressions trouvées pour 9 et 8^;, déduire l'expression de X^j,, racine de l'équation (35), fournie par la formule (3^).

Pour abréger l'écriture, posons, un instant,

V{qY) = s, \Hq)^)^-s^,.

Nous avons

nous en déduisons

et, par suite,

( ^{j,+2— ^!j.+3= a-lJ'-3(i — a) {v^-\-oi^V-Vi)= a2(i — a)(a-[J-Pi -f- aH-Pj)-

De même, on a

s^. + 5jj,4-v = 2 P — a-H--v ( , -f- av ) ( Pi — a2!J.+v (;, )^

3o TROISIÈME PARTIF:. — FRAGMENTS.

Ces dernières égalités peuvent être transformées si l'on observe que a est racine de l'éqnation réciproque

Jont Ja résolution donne

J^es dernières formules s'écrivent donc ainsi

. . , , ( ^[j.+ i -H V+* = 2 (v/5 — i) [(/j — I ) p — a -H- Pi ^ a!J'P,l.

' ^u.+2 -;- <?[x+;3 --= i (/^) -H i) [(v/^ — i) P -+- a-fJ-Ti — aS^-Pâ].

Nous avons enfin ,v =:= y/5r et, par suite,

Nous allons multiplier, membre à membre, les égalités (02 à 55), en observant qu'on a

remettant Q au lieu de s et extrayant la racine carn-e, ce qui donne

= v/5(a-!J'Pi-H aH-P2)[a-!^Pi — (v/5 -f- i)p— al^-Pa] X [a-[J- Pi -i- (y/:j — i ) p — aH- Pa] .

Le produit des quantités Q est égal à y/5, suivant l'égalité (47); divisant par ce ])roduit, puis revenant à X|x, que donne la relation (37), nous avons enfin

( /3F3(^)X^, = (a-!J.p,-f-a!J-P2)[a-l^'P,-^-(v/5-t-i)p-a^-P2] ( x[y.-l'^Vi'i-{\/j—i)v — a\''V^\.

On a ici fixé, arbitrairement, le signe en extrayant la racine