CHAPITRE I. 3l

carrée. Cela est permis, à condition que Ton choisisse en consé- (|Lience le signe de la racine carrée y/J — i , au dernier terme de l'équation (35).

Or, pour g-^, on a le développement suivant (t. I, p. 446)

T. ) ^^ (53 î ^ \ — rfP

On en déduit

./rrr v'^7 / ^ „ z v Pïq'!'\

en sorte que la partie principale de | \/ J — i est ^ ■• C'est aussi

ce que donne la formule précédente (56); en y prenant la partie principale, on a

Le produit des cinq racines donne donc

s/r n X == ^-1 -+- . . . , II X = -/l ^ ? y'r^i.

On ne peut manquer d'observer le cas particulier J = i, c'està-dire ^3 = o, dans lequel une racine X est nulle. Parmi les quinze facteurs qui figurent dans les expressions, analogues à l'expression (56) de Xjj,, il en est donc un qui devient nul, suivant le choix que l'on a fait de q et de sa racine cinquième.

Dans ce cas ^3= o, si l'on suppose g^i réel et positif et qu'on prenne, pour w' et w, les demi-périodes dont l'une est purement imaginaire, l'autre réelle (w' = tw), il est visible que l'on a ^ = ^0 et t^ = t;. C'est une conséquence immédiate de la relation

(|ui a lieu (t. T, p. 3^) quand ^^3 est nul. Comme co' est égal à /(o, les arguments

sont liés ainsi :

d'où résulle

C'est donc le facteur commun à .v, + s-, et à 5,,+ s qui est nul :

INous rappelant comment F (^^) a été décomposé en trois parties, observant, en outre, que q est ici égal à e""^, nous obtenons ainsi

où F désigne la série (4^)- ^c résultat ne doit pas surprendre. 11 résulte de la double égalité

lo<,^ - Jog- — rr^r TT^,

que Ton trouve par l'inversion des périodes. Il suffit, pour obtenir l'égalité (5-), de supposer ici -A- 1= 5.

Plus généralement, si, dans la relation (58), on suppose 4— = //, on obtient

F \ e~"^') =^7iF{ e-" ^ ) e ^"^,

c'est-à-dire, à l'égard des quantités 8 pour n quelconque {4[))y

Il — 1 Oo= i 2 0,

dans le cas où l'on a oj'i= ^w, ce qui correspond à ^;t =^ o.