CHAPITRE I

Revenons à X^,, donne'' par la formule (56), que nous écrirons

ainsi

de sorte que les cinq racines s'obtiennent ])ar les diverses déterminations de la racine cinquième de q .

Si l'on j)ose

on a, suivant l'égalité (^H ),

en sorte que le dernier facteur dans l'expression ci- dessus peut s'écrire ainsi, sous forme symétrique,

Résolution de l'équation du cinquième degré.

Il s'agit de réduire une équation du cinquième degré quelconque à la forme (35) de la résolvante en X, que l'on vient d'obtenir. Nous suivrons une marcbe inverse et, partant de l'équation

(59) /(X) = Xo+li'X3-f-5X-/. = o,

nous cheicherons d'abord la transformée que l'on obtient en prenant une nouvelle inconnue «,

c étant une arbitraire, qui va figurer dans /{c), /'{c), .... Nous écrirons, pour abréger,/,/', . . . , sous-entcndant la lettre c.

On a

Il = \ -f- C -h

(i: ?0- — ^ U^ -- — -r -i- 10C2 Cc(c2 -h x)'L-^{ci-^ I )2 •/' .

Les coeflicients des termes en u' et w"^ sont ainsi déterminés dans l'équation cherchée. Si on la suppose mise sous la forme

/. u^ -{- 5 M II'* H- 3 L lû -r- . . , — o et qu'on substitue les expressions très simples def el f% savoir

/' = 5 ( C2 -h I )2, /" rr. ^.O C( c2 -r- i ) ,

on a ainsi

ou Lien

jM = — l c'' 2 C2 -H Ac -i- I ,

Le dernier terme de l'équation en u s'obtient aisément par le produit des racines :

II u = l^^^'-^H'^'-^^) /( 0,/(- i) /'^ - V

ll(c-X) /(c) - /

Quant aux deux autres termes, ils manquent dans l'équation. On a, en effet,

Ces deux sommes sont nulles, puisque les polynômes numéro-