CHAPITRE I

leurs sont des degrés 3 et 3, inférieurs, de plus d'une unité, au degré de/(X).

L'équation en u est donc la suivante :

/. u'> -f- 5 M II* -h 5 L u^ -i- 11- H- %^ = o.

En posant a = --? on a la transformée ^ cz

(62) z^-'v 5lz- -- 5mz -+- n ^- o

avec les "coefficients suivants, où Ton a remplacé // par|y/J — 1, comme dans l'équation (35),

(63) ^J/^(jy'L, i^Jm^(Q'M, ^i-^a^l^Jf.

C'est maintenant le problème inverse qu'il faut résoudre, c'eslà-dire tirer les trois inconnues p, c, J de ces équations (63), où /, ni^ n seront donnés. Pour ce but, nous allons iaire connaître? une identité que l'on obtient comme il suit.

D'après les égalités (61 ), on a

(04) cM -h L + \f^ o, c/-t- M rr. (cM- , f

ou, en négligeant les multiples de (t--j- i)'',

Dans le polynôme, du huitième degré,

on peut donc choisir les coefficients a, [îi, "' de manière à le rendre divisible par(c--j- 1)*; il suffira qu'on ait identiquement

c2(c2-~i)^-ac2(c:^-{) + [^(c^-A)H^c2^(c2+,)^.

Voici donc ce polynôme :

Les coefficients de c« et de c' y sont nuls :

Le polynôme est ainsi du sixième degré seulement; c'est (c--h i)"' avec un facteur constant que nous trouverons en prenant c = o. Voici donc ridenlité en question :

c2L2-V-cLî\J-3L/+-V^M2=(/i2-r-^)(c2-f-l)^*=^J(I\l-i-c/).

En y substituant L, M,/, tirés des relations (^3), on obtient

( 65 ) C* ( /2 p2 U Ijn p 3 In -^ -V /«2 ) =Z3 p3 ( /?i p + /ic2 ).

La première égalité (64) donne (66) {mp-^lii)c'- = —Iç^.

Eliminant c, on a une équation du second degré en p,

( 67 ) 1-{1- p- — \} hn p — 3 lii -r- ^ m-) h- ( m p -r- l n ) ( In p — m- p — | mn) = o .

La précédente ((36) donne c- en fonction de p. Pour obtenir //. on peut, des égalités (63) et (64), conclure

et, d'après l'expression de M,

m p /no H- nc'^

ni{c--{- ly^p m p -h nc'~

On a, de la sorte, en fonction de /, /}i, /i, la constante A de l'équation (09); l'inconnue z de l'équation (62) est exprimée en fonction de l'inconnue X par la formule

L'irrationnelle p, racine de l'équation du second degré ((ij), est essentielle dans cette formule; mais la nouvelle irrationnelle cn'y figure qu'en apparence. De l'équation (5c)) on tire

pour en conclure

<:l /ic — r2(X'. ^ M X-2-+- 5)] cH\--t- \){\''-h '-iX-'-h j)