CHAPITRE I

Dans celle dernière Ibrinule, on ne voit apparaître que c- el Jic^ fonctions rationnelles de p, comme le montrent les égalités (66, 68). A la vérité, h lui-même est nécessaire pour composer l'équation transformée (59) ; cependant cette équation ne change point si l'on \ change, à la fois, les signes de Ji et de X. Puisque la formule (70) ne contient que des puissances paires de X, il est donc clair que l'irrationnelle h est étrangère au problème. C'est ce qui apparaît plus nettement encore si l'on envisage la transformée (3^), où l'inconnue est Z.

Parles égalités (33, 34), on a

Il en résulte

dans cette formule n'apparaissent que Ac et c-. Enfin la constante J, qui figure dans l'équation en Z, se détermine en fonction de p seulement comme il suit.

Des égalités (63, ()4), tirons

9 c'\m p -+- nc^)'

puis substituons l'expression {66} de c-. Il vient ainsi

G4 , (Zo2-- m^.—lnv^

/- [ ( In — m- ) p — I m/i ]

Parmi les cas particuliers, nous signalerons d'abord celui où l'on a c'- = — I . Soit c ^ i ; l'égalité (60) devient

La substitution directe dans l'équation (5()) donne, poui = -r-) la transformée

lU

(3 — ih) ^5-f- ^fp^z'^-h Sp'-'z-^ p^= o.

38 TROISIÈME PARTIK. — FRAGMENTS.

Ce cas de l'équation (62) est caractérisé, on Je voit, par la condition

(73 ) 3 lu — \ m^ = o.

(>ette condition satisfaite, l'une des racines 0 est déterminée [)ar l'égalité

n [\ m ni 3 /

Il y correspond c- = — i et

3 iw

De cette dernière égalité, où l'on mettra i au lieu de c, on

conclura

()4 , 71* /iC) 11'*

landis (jue la formule (7:4 ) présente son second membre sous la forme indéterminée.

11 j. a cependant un autre cas, fort différent, où c- est encore égal à — I . En supposant c ~= /, on a

et, d'après les formules (04),

Les formules (63 ) deviennent

On en déduit

(^ 3)' (3 la— Un'-) =-0.

Donc, 3 In — 4^71- étant supposé différent de zéro, on voit que J est nécessairement nid. L'équation en Z ayant alors une racine infinie triple, il est clair que c'estici un cas limite. La formule (71 ), ([uand on y suppose Z infini, donne, pour la partie principale