CHAPITRE I. Sg
Cette quantité peut avoir une limite finie si c tend vers ;, en même temps que Ji tend vers \i.
C'est aussi ce qui apparaît sur la formule (69). L'équation en X a la racine triple X = i, pour Ji = | i. Supposant donc cette valeur de II et c infiniment voisin de i, l'égalité (^)9) donne ;: sous une forme indéterminée quand X devient égal à i. Mais, pour les deux autres racines X, on aura
Cette considération fournit le moyen de caractériser ce cas par un calcul direct.
L'hypothèse A = | / donne
De là vient, pour ^, en vertu de la relation (74)1 cette équation
Ce dernier trinôme, du second degré, doit donc être un facteur du polynôme (62); on a donc identiquement
/, ( ^3 -[- 5 /^2 ^ 5 /n ^ 4- n ) = (■ 2^2 __ 3 p ^ u 3 p2 ) /a ^3-^ 3 p ^2 f 5 p-2 ^ + ^ "l, c'est-à-dire
L'élimination de p fournira la condition caractéristique de ce cas où, comme on voit, p est rationnel; le premier membre de J'équation se décompose, par conséquent, en deux facteurs rationnels, l'un du second, l'autre du troisième degré.
Un second cas à signaler est celui où c est infini, où, d'après l'égalité (71), on a
5 = - pZ.
Prenant, pour point de départ, l'équation en Z, on voit que ce cas est caractérisé par la condition
4o THOISIÈME PARTIR. — FUAGMKNTS.
el que l'iiue des solutions donne les résultats suivants : ^ /i 8/;« I n'*
On peut encore fixer l'attention sur le cas où, l'une des valeurs de p étant zéro, c est nul aussi. Si Ton prend, en outre, olc= i, on obtient ainsi Téqualion
qui joue un rôle dans les importantes reclierclies de M. Gordan. Nous n'aurons pas à nous en occuper.
Les cas particuliers précédents induiseni à modifier les formules par l'emploi de notations convenablement choisies. Nous poserons
\ In — A. ni- — IX, — — N ;
( mp H- l" /i ~ ^ . {In — ni- ) p — 3- m n = /n r^ .
et nous rendrons les formules homogènes à l'égard de ^ et/j. On trouve ainsi
/- p- Lni p — 3 In ~ nV- = -y- — ?
i; ^ ( 4 IX — 3 X )3 ^2 ^ 2 jj. ( 64 jj, 2 80 ixl -4- ^^ X2 ) ^r, -h IX ( 8 [x - l j2 r;-.
Cette quantité U est homogène aussi à l'égard de [x et A. L'équation (<)") prend alors la forme
(77) IJ -^ îJ^-^N;r, -^o.
L'expression (6()) de c-, rendue homogène, devient
3^[(!^-X)^ + 1^-^-1" La formule (7^^), qni donne J, se transforme en celle-ci <>4 .
9 hn^mr^
où Ion a posé
V r= ( 4 ;j. — 3 À ) ç - + 5 ;ji^r, ^ (j.r,2 .
CHAPITIU-: I. 4i
En la rendant liomoi^ène, on oblient
^i [( ;^ - >0^ + p-^J' ou encore, faisant disparaître N par le moyen de l'égalité (77),
[4r,2[^([JL — X)^ + [ar/l^
Dans cette dernière formule, J apparaît comme dépendant de deux variables, les deux rapports ^',X et ^Ir, . Les deux quantités J et J,, qui correspondent aux deux transformations d'une même équation (6'^), sont alors liées ainsi : soient
on aura, suivant (77),
tandis que la quantité N, caractérisant, avec le rapport al A, Téquation (62), est déterminée par la relation
(79) (4!^- — 3À)3(^r^i-^r^ii)-T- '2^(64 ;jl2— 80 |j.À -;- V' l-^)rj,i + |jl3 N r/r, 1 ^ o .
Nous devons examiner le cas où l'équation (62) en z a une racine double.
L'équation en X n'a point, en ce cas, de racine multiple; on a vu, en effet, que les racines multiples de cette équation (et ce sont des racines triples) se présentent dans le cas J = o. En conséquence, deux racines X et X' correspondent, à la fois, à la racine double z, suivant la formule (6())
cz
On a donc
