III. " k

5o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

De là résulte la combinaison

iu — a' = x^ — \xy + ff^x -r- 3^3, donnant, d'après (4),

(8) IV — v' = x'"— /^ x^v -4- g'i a-^- -\- 3g--iX — xz — I.a'-ù\

combinaison dont nous allons avoir besoin.

Une seconde équation est fournie par cA -h «B + 6C ; on a

cA = a^c — abc{^a -i- b -h •2c)-i- a^c--^ b- c- -\- \ g=y^{ac -^ bc) -^ giC.

Il en résulte l'équation

v'— -jxz -^ i^a-b--^ g^y + g^x = o.

Remplaçant (/ par son expression (4), puis a' et ^a-b- par leurs expressions (7, 5), on a ainsi

(9) x'*—lox''y^'iQxz—•^y^'-]-g,{x'-—•^y)^ o.

Prenons enfin bK -|- cB -H aC, ce qui donne le calcul suivant

bk — a^b -\- b^c — b^a — ^a-b--\- abc{a — ib)-{- j g^{ab -i- b~)-h- g^b , .2ç — ç'— /^s^a^-b^^— ccz-^-^g2{cr^-—y)^ gsx = o,

puis, d'après l'égalité (8),

(10) x''— 4^-JK + Sxz — 5 y- -^ ^ g^C^ ^^- — y) -i- i g:icc = o.

Considérons enfin l'équation (abc) dans sa forme primitive (3), ('I) ^(4- — é'3) — (7-+-i<^2)- = o•

Ges trois équations (9, lo^ 11) constituent le système symétrique que nous voulions obtenir.

Prenant x pour inconnue principale, nous éliminerons y et z, parvenant ainsi à une résolvante en x. Par cette inconnue s'exprimeront ensuite les autres inconnues j)', ^, ainsi que la fonction alternée (a — a').