CHAPITRE II. 5l

Équation du huitième degré pour la division des périodes

par 7.

En éliminant xz entre les équations (9) et (ii) ou bien entre les équations (10) et (11); on parvient aux deux suivantes, que nous ordonnons par rapport à j' :

37- — ( 2 ^2 — 4 -x-- )y - - 3^'' — I ,^2 ^' — 6 ^4-3 ;r — i ^^1 = 0. On en tiie d'abord k, exprimé en fonction de cT,

puis cette équation, ne contenant pas g-i,

Ecrivant cette dernière sous la forme

^^ I ( 7 + 2 V é^2 ) - -= ^ ^ ^- I é^ 2 a^ - — -^ ff l ,

puis substituant l'expression (12) de j', on a l'équation finale

Le développement se fait par un calcul assez court, grâce à cette circonstance que ^3 figure seulement dans le dernier carré; voici le résultat :

On peut représenter cette équation sous une forme symbolique très simple, avec les mêmes symboles qui ont servi, pour l'équa-

tion analogue, dans la division par 5. En écrivant symboliquement

on peut écrire l'équation sous la forme

])ar où sont mises en évidence les racines 21 A et — 3 A, cette dernière septuple, quand le discriminant s'évanouit.

Pour chaque racine x, on a jk, ^ et la fonction alternée u — a'=^ t, au moyen des équations déjà trouvées,

^t ^—:i{a— b)(b — c)(c — a) — ix""'— ç)xy -\-3z -i- 'igi.x 4- 6^3.

Un cas particulier.

On doit observer le cas particulier où l'une des racines x satisfait à la condition

D'après le calcul même qui nous a conduit à l'équation (14)7 nous avons

3^^+4^2^2+2i^-3^-}-rG^i-f- ^(14^^- 1^2)

= 3 ( :r^ + I g^i x"--^-] gzx -^ ^^ ^1 ) = o .

La racine x dont il s'agit est double. Soient

14^' — l^2=P, x*-^\8^oc''--\-'-jg-iX-\- ^gl = q, la condition P = o donne

(18) x = ±i\/fy2;

CIIAFITRE II. 53

la condition Q = o donne ensuite

On voit par là que, cette condition (19) étant satisfaite, la racine x^ entièrement déterminée par l'égalité (18), existe; elle est alors double. Par l'équation (14)7 en prenant ce cas comme une limite, on a

(20) X'^ -^r- % g^X^' - -~gl=— —^gl

et, par conséquent,

-^!lio-|(Îp)2 33Q2=0,

Suivant l'identité (17) et l'expression (12) de 7', on obtient donc

11 y a, de la sorte, deux valeurs bien déterminées, pour y, correspondant à la racine double x\ donc aussi deux valeurs pour z et pour ^, d'après les formules (16).

Si l'on suppose la quantité (19), non y)oint nulle, mais infiniment petite, alors deux valeurs de x — t/^^2 sont infiniment

petites : nous allons calculer leurs parties principales.

Soit g\ la valeur limite (19) de ^3, soit x^ la valeur limite (18) de X. En se bornant aux termes principaux, on a

sous la condition de mettre dans ( ~- j les valeurs limites ^'et i,'!j.

Comme on a

54 TROISIÈME PAIITIIÎ. - FRAGMENTS.

on obtient

\dx ) Moyennant la relation limite (;>o), nous avons ainsi

— ^l\A ^'{^ - ^'')]'— 3-^ \^ ffi x'{oc — x') ^ nx'ig;— g:^ ) = o

ou, en divisant par Zx'^ et extrayant la racine carrée,

•i-^ g,{x — x') =^ ± Zi sf-jl |-^ ,^o(^ — ^')+7(<^3— ^''3) •

Nous avons, de la sorte, les parties principales des deux quantités x — x' \ elles sont du même ordre infinitésimal que ^3 — g'.^, et imaginaires, g^ étant supposé réel. Ainsi, quand ^3, variant dans le domaine réel, passe par la valeur ^>''3, deux racines x deviennent égales entre elles, mais ne passent point, comme il arrive d'habitude en pareil cas, du réel à l'imaginaire. Elles demeurent imaginaires : pour chacune d'elles, les signes des parties imaginaires changent au passage.

11 est bon d'observer que, pour g:i^= g'.^, le discriminant est positif, g2 et gs étant supposés réels; on a effectivement

et g.2 doit être positif pour que g^^ soit réel (19)-

Cas où g-2 est nul.

Au cas g'2= o, l'équation (i5) a la racine double x = o. Si l'on pose

i'-gs^

en supposant à u une limite finie, la forme (i4) de Téquation donne immédiatement

Il -- ^( — 27 r': (0^/3).