CHAPITRE II

Tout comme dans le cas précédent, au passage de g^ par zéro, deux racines x deviennent égales; mais, de part et d'autre de la valeur ^-2=0, elles demeurent imaginaires : les signes de leurs parties imaginaires ne cliangent pas au passage.

Ces deux racines infiniment petites, ainsi cjue leur différence, sont du même ordre infinitésimal que g~,.

Par les formules (i6), on trouve aisément que y est infiniment petit,

et que z a deux valeurs finies

(22) z = -^^{—iàz?,i\/'^)ffi,

en sorte que les quantités «, />, c correspondantes sont les trois racines cubiques de z.

Les autres racines se trouvent immédiatement; car l'équation (i4) se réduit à

et donne, pour x^ les diverses racines cubiques des deux quantités suivantes

dont la seconde est de signe opposé à celui de ^'3.

Ces circonstances si simples s'expliquent facilement par la propriété

(28) p{7.u)=y.'pu (a^=i),

que possèdent les fonctions elliptiques (t. I, p. 82) dans ce cas particulier.

Pour fixer les idées, supposons ^-3 réel et positif, en sorte qu'on ait

(2,î) — - ^- iV3

OU, en d'autres termes,

('25) Wo = co2(i + 2a), n— ;

Les arguments ^coo, t^o, ^coo donnent lieu à des fonctions p réelles et j30sitives^ les arguments f-w'^, fw!,, fco!, à des fonctions j) réelles, positives ou négatives, mais inférieures aux précédentes. Les deux seules racines x^ qui fournissent, pour «, 6, c, des quantités réelles, correspondent à ces arguments; ce sont

^o = — ■ -^ ■ S'igi^

dont la première répond à fwo, . . ., et la seconde à yw!,. Pour distinguer les autres racines, nous poserons

»'fj, = 7 ( w', -f- |J.0J2 ) ( [J. — i , •>., 3, 4 7 >j 6 ).

Ce sera l'argument de «jj,, suffisant pour caractériser x^^. Cette notation est semblable à celle qui a été employée au Chapitre précédent, et on la retrouvera, plus loin, pour le cas général. D'après cette notation, en tenant compte de (sS), on a

(^2= -7^2(3 -î- 2a), '2 a (^2 = y W2 ( 3 a H- 2 a2 ) = | oj, ( a — 2 ) = | 0)2 ( 3 + 2 a ) — 2 Wo ^^ w^

et, d'après (sS),

a, = a^2- On a, semblablement,

d'où résulte

a>,-\- b^-^ c^— Xi~ o.

Pareillement,

a wpj; = Y C02 (4 a — 2 ) = Y t02 ( 2 a -h G ) — \ixii^^ iwr,, b^= aa^, c-i= !xb^, a^=: ac;i, rr-;=o;

aw^=^iix>2, X = aa^i,

aW3 = |t02(2a — 2)=^WP4, a74=a^3,

2aWi = YW2(3a — 2)EE^3tVo, x„=-olx!,,

•2a(Po= î W2(5a — 2) = 5«^i, ;ri = aa^c.