CHAPITRE II

En résumé, x et Xi^ sont donnés par les égalités (26); puis on a

(27) a:-, = 375 = 0, :ri=a2:r, x-i— a.x^, X'^-=^ rû-x^^ a"6=a.r.

Nous aurons besoin de connaître, dans le cas où g-y^ au lieu d'être nul, est infiniment [)etit, les termes du premier ordre en «o dans ces diverses racines. Dénotons par des lettres accentuées x\ x\^ x\, . . - les racines quand g--^ n'est pas nul, afin de conserver à X, Xq, X\, ... la signification qui répond aux égalités (26, 27). En premier lieu, nous bornant à la partie du premier ordre en g2^ nous avons, d'après (21),

Soit posé, pour une autre racine cjuelconque, x'^=^ x^-\- ^xx- Dans l'équation (iT)), écrite sous la forme suivante où les termes en g'i, gl sont omis,

remplaçons ^ par ^^.4- Çjj, en nous bornant aux termes du premier ordre. Nous avons ainsi

2 ^y. ( ^^ "- 3 3 . 7 ^^3 ) t jj. = 7 ( x'i -^ 27 ffi ) ,^2 .

Soit, pour a, une des valeurs o, 3, 4, en sorte que l'on ail Xy, = yJ'^Xo, m étant l'un des nombres 0,1 ou '.>.. Multipliant par x aux deux membres, et d'après les égalités (2G), nous concluons ^,j^ = p7.-"'^x, avec cette expression de la quantité/; :

Moyennant quoi l'on a, pour ^'o infiniment petit, les expressions ci-a[)rès des racines x' :

x'^ = Xo-^px, x'.^= a.Xo-{'px-x, x'.^ = ci-Xo-f- pocx. Soit posé, de même,

^\>J-Si) \v/2i

Les autres racines sont exprimées ainsi

x'~x-^pX(^^ x\ — o(.'''X -^p' olxq, x\ = oix + p'a.'^'Xo,

à quoi il faut joindre x'., = x'.^ = o.

Nous avons supposé «3 positif; si g-:^ était négatif, il faudrait échanger les expressions (2(3) de x et de Xq et tenir compte que Ton a, pour ce cas,

On peut aussi passer du cas précédent à celui-ci par l'échange des périodes.

Soient (02 et to!,, liés par la relation (24), et les x déterminés comme on vient de le voir. Posons

W2 = — ta» 2 , w 2 = U02, ,^3 = — .^3 ,

en désignant par jl hi fonction elliptique où g-2 = o et où le second invariant est ^3, en sorte que p{iu) = — pu (t. I, p. 32). Les arguments w et (Vv des racines x, Xq^ Xy, relatives à ce cas, étant caractérisés comme précédemment,

(^-0=7102, (Pv=^ "7 (^2 -h VÔJ,),

on a, tout d'abord,

iv — — t'woj wq— ('iv; x = — Xq, ^0 = — ■^'

l^our les autres arguments, on a

iw^ = ; (vto'2 — 002);;^ — (^2 ~r- [-«.W2) === '■'^^a?

])Ourvn que les deux entiers pi, v soient liés par la condition

[i.v ^=s — I (mod7),

ce qui donne les cas suivants :

[j., V = I, G; IX, V = 2, 3 ; jj., v = 4, 5.

En d'autres termes, dans le cas où g-^ est négatif, après avoir échangé x et ^0 dans les égalités (26), il faut aussi, dans les rela-