CHAPITRE II

lions (2-), faire le même échange et j échanger aussi les indices I et 6, 2 et 3, 4 et 5, ce qui donne

Xs= X!,= O, ^6= ^"^05 0^2=^^, X'^—Ol"Xj Xi== OCXq,

Nous étudierons ulténeurement les racines j: comme des fonctions de ^3, en laissant f^-., constant. Ce que l'on vient de dire pour le cas g.j. = o s'appliquera alors, sans modification, au cas 0-.J z=: co, comme l'homogénéité le rend évident : on aura deux racines infiniment petites, X2 et ^5 ou x^ et X',, suivant que ^3 sera positif ou négatif; les autres racines seront infiniment grandes, du

même ordre que \'g:i.

Examinons, dans ce cas particulier, o\>=ro^ les diverses valeurs de t.

En correspondance avec les deux racines x qui sont nulles, la dernière formule (16) donne t =^ z -]- a^^.j, c'est-à-dire, d'après (22),

Nous en concluons, suivant la première formule (16), xy = 3{\/i r- 3/2()<^3, tandis que Téquation (i3) donne aussi

Par la seconde formule (lO), nous avons alors

En substituant dans la dernièie égalité (16), on obtient

(32) t=l{3dz^^)g,.

Les trois racines x que la formule (3i) donne pour chacun des deux signes dz fournissent, on le voit, une seule valeur de t. Ainsi il y a deux valeurs simples de /, que fournit l'égalité (3o), et

6o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

deux valeurs Iriples, assignées par la formule (32). L'équation en t se réduit donc à celle-ci :

(33) ^^ti-~'i:g-j-^',.:!gi){v--~c:)g,t--9.:jglf = o.

En développant et mettant t = .v^;}, on trouve (30 -j s'' — '?.KV s- ^ ^.Ss.^.:^^-— 38.7.ç'^+s>..39.76-2— 3i2=.o,

résultat remarquable à cause des trois termes qui manquent , et dont nous nous servirons plus loin.

Résolution du problème de la division par 7.

Pour chaque racine x de l'équation (i5) on a, d'après les formules (i6),j)^, ^, t sans ambiguïté. A l'égard de y, nous avons examiné le cas particulier qui semblait d'abord mettre les formules en défaut; quant à z^ il semble aussi se trouver une difficulté pour le cas où une racine x est nulle : ceci se produit quand g^ est nul. Ce dernier cas, nous venons de l'examiner. Revenons au cas général.

Avant X, y, z-^ on aura les trois inconnues correspondantes a^ />, c par la résolution de l'équation, du troisième degré,

a^ ~ xa'- -^-y CL — ^ = o.

Mais la connaissance de t apporte une simplification. Suivant la méthode de Lagrange, soient

On en conclut, suivant les notations employées précédemment,

s"^— I.a^-\-Gabc -h 3sii -+- 'dz^u' — ^a^-i- 6z— ^(u -^ w') H- -|iY3(« — ii')y s^ = ^ ( '2 x^ — 9 xy -t- 27^ ) -h 2 i V^3 t.

De là on tire s par l'extraction d'une racine cubique, seule irrationnelle nouvelle. Prenant ensuite

^ CHAPITRE II. 6l

on a

ss' = a--\- b~ -h c- — ab — bc — ca ~ x- — "iy ;

s' est donc connu au moyen de s] puis a, b, c sont donnés par les

égalités

3 6 ~ X -h l'^s -^ zs\

Il convient d'observer que le cliangement de i en — i, qui échange s et s' ainsi que s et s-, n'apporte aucune altération dans rt, ^, c. Si l'on écliange, dans le choix de 5, les diverses racines cubiques de s^ , il y a, au contraire, des changements dans a^ b, c. Remplaçant s par £.ç ou s- s, on doit en même temps remplacer s' par e'-s' ou es' : de la sorte, a, b et c sont respectivement remplacés par c, a et b ou par b^ c cl a; mais l'ordre circulaire dans lequel se succèdent les lettres «, b, c n'est pas altéré, ce qui est conforme à l'analyse employée.

l^es trois quantités «, ^, c sont égales aux valeurs de la fonction p pour les multiples d'un seul et même argument — ; 2to désigne, d'ailleurs, une période quelconque. Les valeurs de la fonction p' s'en concluent, mais il n'est point nécessaire de recourir à l'expression

Revenant, en effet, à Téquation (2), nous avons

2 '^[J- =—{ab^bc^ ca -^ {- ->) = — (7 + j^,),

et nous en concluons

[ y/oa= --{iax-y — \g,),

(35) / \/ob--^ ---{•ibx — y ~~g^),

\Jx

\JoC = -^{iCX —y — lff.^).

62 TU0ISIÈ3IE PAIlTli:. — FRAGMENTS.

Si nous prenons ainsi une seule et même détermination de \lx dans les trois formules, alors a et ^''^a^ b et y/'f ^, c et y/cpc sont les valeurs des fonctions p et p pour trois arguments dont la

somme est une période, par exemple — ? — et ou encore

2 w 4 w 8 co

Relations entre les huit racines.

11 y a place ici pour une analyse toute semblable à celle du Chapitre I (p. io\ Soient x et Xq deux racines; on peut trouver une formule algébrique donnant à la fois toutes les autres racines en fonction de x et de ^o- En effet, a^ b, c répondant à ^ et ciq, b^, c,, répondant à x^^ posons

/ I f\/oa — ^oa,)\'^

[ 4 V a~ ao

I //es b — s/oh^

(I (Joe — sJocq 4 \ c — Co

Soient -, — , — -et — ^ — , — les aro^uments qui corres-

pondentàaety/cp«, etc.; d'après le théorème d'addition, «<, ^, , c, sont les valeurs de la fonction p pour les arguments

2 CO -r- 9 (0 , , 9 CO H- 9 tO

=t 2 — 1 z!z 4 ;: li'i^ ajoutant, membre a membre, ces

dernières égalités et employant les résultats (35), on obtient

^ 1 ___i y (2 CT 3- — j- — 1 ^, ) (9 or.Q Xq — Jo — -[ ^2) ^

[ -is/xs/Vq^ {a^ao)-^

Ainsi, Xi est exprimé effectivement en fonction de x et de Xq par l'intermédiaire de a, b^ <?, «07 ^o^ Co-

En changeant le signe de \/^x, on change la racine :r,. En permutant circulairement a, 6, c, on obtient aussi trois déterminations de cette racine, distinctes entre elles. Ainsi, par ces deux