CHAPITRE II
changements, celui du signe devant y/\r, celui de la lettre initiale rt, b ou c, on obtient six racines ^,, distinctes entre elles. Quant
aux changements analogues opérés sur y/^'o? <^^05 ^o, <^0 7 ils équivalent aux précédents; on le voit de suite. La formule (37) donne donc explicitement six racines en fonction de deux d'entre elles. Nous allons classer en ordre ces six racines et préciser les arguments qui leur correspondent. Pour l'argument de «,, prenons la somme des arguments de a et de «„ ; en d'autres termes, fixons le signe de \/'f «i par une convention qui, d'après le théorème d'addition, nous donne
(38) ' ib — bo)^^Oi={bo--bi)^ob^{bi--b)\/^b~o,
( (c — Co) /cpci = (co — Cl) y/'f c — (c, — c) v/cpco."
Par ces formules (36), (3;), (38), les arguments qui répondent a <7, \^'fa, a a^^, y/'f «^'o étant désignes par — et -^ , celui qui repond a rt, et y/cpa, est ; pour h et \l'^b, les arguments
sont doubles; pour c et y^'f <^j il"' sont quadruples. Il suffira de dé-
. . 9, w'-:- 2 0) signer le premier argument, qui, pour .z',, est ainsi -^ •
En changeant le signe de sj x ^ on obtiendra, par les mêmes formules, une racine repondant a 1 argument ;: ou, ce qui revient au même, '^'^ "^ — ^- Elle sera dénommée x^. On a ainsi
' (« — «o) V^^^G =.— (<^o— a^)\JocL-^{a^ — a) \J^a^,
avec les équations similaires.
En permutant circulairement «, ^, c, on obtient une racine .To
1 ,1, . 9, (o'-f- 4 tO
repondant a 1 argument ?
!, I (\lo a,, — \/ob 6 + «0 + «2 = 7 — 7-"— {b — aQ)^oa^={aQ— ai)\Job -\-{a^ — b)^oa^.
64 TR01Slf{'.li: PAUTIE. — FUAGMH.NTS.
Une nouvelle penmilation, avec changement du signe de y/x,
donne ia racine .r j, repondant a = ,
( I l \J '^a, -\- \/oc
( {c — n^') «/o a-i = — ( a j — a.-j ) /cp c + ( a^ — c ) y^cp ^o-
Le changement de signe de \ x^ dans ces dernières formules et dans les précédentes, donne successivement les racines^/, et ^5,
'1 tu' -- (S w 1 to' -f- I o w
repondant aux arguments et
( c — «0 ) V ? '"'■V = <^ ''^0 — <^\ ) V^'-p c -r- ( «4 — C ) y/ cp «0 ;
{b — ao) \/^^^o = — («0— «3) V^'^^ + («5— ^) \/^«o-
Voici maintenant une conséquence. En ajoutant, membre à membre, les égalités (38 ), puis en remplaçant
y/'f^i, \/o^i, v/'fCj, ...
par leurs expressions déduites des formules (35), on exprime \lx,^ en fonction des seules quantités d'indice zéro; car «,, h^, C\ sont, au moyen des égalités (35), exprimables parées quantités. Il en est de même poury.ro, y/x;?, .... Finalement, le produit sj x^x.j,x-:^x,,x-,Xç, s'exprime par les quantités d'indice zéro; ces dernières se réduisent à a, />, c, «o, ^05 ^o, \J x^ y "^o- Sans altérer l'ordre de «, ^, c, r/o, ^oi ^'o? si l'on change seulement les signes de \J X ou de y/^o, on ne fait, par là, que permuter y/^, et y/^c» sjx'i et y/.r2, y/ .2^3 et y/j:*/, , avec ou sans changement de tous leurs signes : le produit n'en est pas altéré. Il est donc certain que \J x et y/^o disparaissent dans l'expression du produit. Si, de plus, on permute circulairement a, />, c ou ^o, 60, Co, ce changement produit des échanges entre les indices de ^,, ^o, .... La fonction
