CHAPITRE II

2 1 différences de ces racines donnent, par leur produit, le facteur a-'; le carré de ce produit contient le facteur a''-. Mais a est de l'ordre f relativement à l'infîniment petit î et A est du même ordre que s. Le discriminant contient donc le facteur A".

Ces trois facteurs sont, ensemble, un produit de degré 5G ; c'est précisément le double du nombre des différences des huit racines, deux à deux. Il en résulte que le discriminant n'a point d'autres facteurs; on n'a plus qu'à trouver un coefGcient numérique A, en prenant kglM-\^ pour ce discriminant. Revenant au cas où A est évanouissant, on trouve aisément /i, comme il suit : la racine 21 y donne sept différences égales à 24 y; les autres racines, deux à deux, donnent, pour différences, la quantité a, multipliée par les diverses différences des racines de l'équation binôme £' = 1. Le discriminant'est donc, en ce cas, égal à (24^)' 'a''-, multiplié parle discriminant de l'équation binôme. Ce dernier est — 7'^. Mettant, pour a, son expression (5o), on a donc

pour valeur du discriminant. D'autre part, son expression su[)posée devient

La comparaison fournit /c, en sorte que le discriminant de Inéquation résolvante (i5) est égala — -'. 2^.3'^^.'|M- A"; c'est un carré, sauf le facteur — 7. La racine carrée du discriminant

est donc rationnelle et entière, sauf le facteur « \/7-

Pour reconnaître c[ue ce discriminant n'a point d'autre facteur, nous nous sommes fondé sur son degré. On peut aussi le prouver autrement, d'après la formule (16). Les cas où s'évanouissent^ ou \f\x- — \g.y sont, suivant ces formules, les seuls où y et ;î ne soient pas déterminées sans ambiguïté. Si donc il se trouvait un autre cas de racine double x^ les valeurs de jk et z seraient doubles aussi et deux systèmes («, h^, c), (a', b' ^ c') seraient en coïncidence, circonstance impossible si les fonctions elliptiques ne dégénèrent point. Outre ces deux cas, il n'y a donc de racine double que si A est évanouissant.

74 TROISIÈME PAHTIK. — FRAGMHNTS.

Seconde équation du huitième degré pour la division des périodes par 7.

De même qu'au Cliapiire précédent, nous allons calculer une autre résolvante, celle dont l'inconnue est t. Le calcul direct par les iormules (i 6) serait trop pénil)le5 les résultats précédents permettent d'y suppléer. L'inconnue t, fonction algébrique rationnelle de X est, commet, racine d'une équation du huitième degré. J^es formules (i6) montrent que t ne devient jamais infinie tant que g2 et g^ restent finis; les seuls cas où, de prime abord, t semble devoir être infinie, sont, en effet, ceux où s'évanouit soit^, soit \^x'- — ^g-i'i mais, on l'a vu, t n'y devient pas infinie. Il est donc clair que, dans l'équation en f, le premier coefficient étant réduit à une constante, tous les coefficients sont des fonctions entières de g^ et ^3. De plus, en vertu de l'homogénéité, comme t est du degré 3, le coefficient de t"'- est du degré 3(8 — m), g^ et .^'3 étant comptés comme ayant le degré 2 et 3.

Nous venons de reconnaître que, pour A = o, sept racines t s'évanouissent. Ainsi A est en facteur dans tous les coefficients à partir du troisième. Dans le coefficient de ^"^, supposons que A entre en facteur avec l'exposant n ; on a, en ce cas,

Siq^posons A intiniment petit. ?Sous avons alors sept valeurs de t infiniment petites, dont la formule (o3) donne les parties principales : elles sont de l'ordre y, A étant censé du premier ordre.

Le terme en t' existe certainement, puisqu'une racine t subsiste, différente de zéro quand A s'évanouit. En substituant à t sa partie juincipale, on obtient, pour ce terme, la valeur limite de cette racine changée de signe. L'existence des sept racines, dont les parties principales sont racines d'une équation binôme, exige que, parla même substitution, la partie principale de chaque terme devienne infiniment petite d'ordre supérieur à /\, sauf pour le dernier, où l'ordre doit être justement égal à /\. Cette dernière condition prouve que le terme indépendant de t contient le facteur A'', auquel il se réduit, sauf un coefficient numérique.