CHAPITRE II

lions du second degré, comprises, toutes deux, sous la forme ambiguë

(74) ^2+i(adzZ)^-l-lY±I(laY-Y) = o.

L'une des équations a les racines ^ et ?, : c'est celle qui correspond au signe moins, pris devant Z; l'autre a les racines ^2 et ^3.

Dans le cas actuel où il s'agit de l'équation [GC^)) en ^, la transformée (78) est la suivante :

Nous savons qu'elle a une racine commensurable; cette racine est donc entière et nous la trouverons aisément.

En posant ¥ = —2.7 Y', on aperçoit immédiatement que Y' doit être entier et positif. Le résultat de la substitution

montre que Y' est impair, en sorte que 7 Y'- +3'' est divisible par 8. Le second membre est donc divisible par 82 et Y' est de la forme ^n -\- \. En posant Y^ = 4 '^ + i ? O"^ obtient

(1.4^2-4- 7^ H- II) (65 — /l) =^ (21 71 -4- Il)2,

ce qui exige

65 — 71 E^ II (mod7), /i = — 2 (mod7).

En même temps, n doit être diviseur du dernier coefficient 1 1 (65 — 1 1) -— 2.3=^.1 1 . A ces conditions satisfont seulement les nombres 12, 33, 54, dont le second est effectivement, et seul, racine de l'équation. Voici donc la racine cherchée

Y = — 2.72.19, et l'on vérifie sans peine que l'équation (75) se décompose ainsi :

On a ensuite

et les deux équations du second degré (-4) deviennent

(77) ^2.. 2(2114= 8 v/7)^ — 72.19 li= 25.1 1/7 r=o.

Nous les résoudrons plus loin. Il suffit, pour le moment, de savoir que l'une de ces équations, celle qui correspond au signe inférieur, a ses racines, ^ et Çi , réelles et de signes opposés, tandis que l'autre a ses racines imaginaires, Ço et ^3.

Distinction des diverses racines entre elles, dans le cas ^3 = 0.

Prenons, pour aco et 203', la période réelle et la période purement imaginaire. Nous avons, en ce cas,

X est réel et positif : c'est la racine carrée positive de la quantité positive \. Les trois quantités cpa, cp6, oc sont positives et, d'après l'égalité (72), ~ est réel et négatif. Soit \^ la seconde racine réelle : elle est négative ; on aura

X^= — Xx^ y/çi = i sj— ^1

y/ — çi étant prise positivement.

Pour les autres racines, les formules sont plus compliquées, et nous allons d'abord transformer l'expression de ^2. Additionnons, entre eux, les deux arguments |-(to^+ w) et |((o' — 03) : pour le premier, les fonctions p et p' ont les valeurs h^ et sjob^ ; pour le second, — c^ et i\j^Cy. La somme est égale à

c'est, au signe près, l'argument de «o. On a donc (79) èi-ci-+-a2= lN^f^^~WV^i\\

4\ èi-4-Ci