CHAPITRE II

Les relatioQs (6^) donnent

(80) a, = --(^a--j, v'î^.^^-l^^+^JV'"-^'

en sorte que sjoa^ et les analogues \''^b^ , y'f <^i sont les produits de quantités réelles par la même quantité imaginaire i + i, dont le carré est 2?. Dans le second membre (79), développé ainsi

c'est donc le premier terme qui est purement imaginaire, tandis que le second est réel. Au contraire, dans le second membre (68) développé

i ob — oa i /cp b sjoa 1 [a — Sf ~~ ï (a-^b'f '

c'est le premier terme qui est réel. D'autre part, b — a est réel et bi — Ci purement imaginaire, en sorte qu'on a

i obi— oci , i \/ob\/oa

10b — oa i \/^bi\/oCi

avec les relations analogues, déduites de celles-là par la permutation circulaire. On peut donc conclure

I çp6 — 9 a , 1 ç^i — ^ci

«2 = a b -h 7 ' f— -h Cl — 61 -I- 7 7-7 '—r^

4 {a-f-by 4 (6i-^-ci)2

ou, en mettant 4<^(«" — i), au lieu de oa,

(a— b)(ab -^i) (ci — èj) ( Ci^i^ i) On a ainsi

""'- {a^by {c,-^biY

(a — b)(ab-^i) (b~c){bc-^\) (c — a)(ca^ i)

.y (<7,i— 6i)(ai6i-f-i) (bi — Ci)(biCi-^-i) (ci— ai)(ciai + i) ^

Pour le numérateur de U,

on trouve aisément l'expression

— (a -^6) (6 — c)(c — a) (S «2 62— 3 a^>cE a -1-3 2 «è+ S ^2),

montrant que U est une quantité positive, suivant les inégalités (78). Mais, à l'égard de V, il faut j regarder plus attentivement. Transformons d'abord U; posons

(a^ bY(b-^cy(c-^ay {a~b){b~c){c~^~â)' ~ et concluons

PU ^y^-'\'Xz + x^'-\-y.

Chassons z d'après la relation (m), puis j- par la relation (i3) et enfin jK par la première égalité (16) ; nous obtenons ainsi

12(7372— 5) PU = 5;r6-M5i^* — •i5^2 a ij^

En mettant a,, b^, c^ au lieu de a, b^ c; ?, au lieu de x'^^ nous aurons donc

(81) "i2(5-7^,)PiVj--5?? + i5i^f-25^i-l-ii7.

La quantité — ^j, dont nous aurons tout à l'heure l'expression explicite, est comprise en 18 et 19. Le second membre (81) change de signe une seule fois quand — i< va de zéro à l'infini positif; il est encore positif pour — ^, = 20. Il est donc ici positif. D'autre part, d'après la relation (80), on a

( «1 — bi)(bi — Ci)(ci — ai) i ( i \ / i