CHAPITRE II
Suivant les égalités ( 7 i ) , ^o a sa partie imaginaire positive, 2 i IJ V: \J^2 ^st celle des deux racines carrées où la partie imaginaire est positive aussi. Enfin y/^3 est la quantité conjuguée de y/52-
Formules relatives au cas ^3=0.
Résolvons l'équation du second degré (--), en observant que Ton a
Il en résulte
et cette formule, si Ton y change le signe dey/^ et de V ^y/j, fournit les quatre quantités ^. La séparant en quatre formules distinctes, avec Tacception arithmétique prise pour chaque radical, on aura, conformément à la définition précise des quatre racines,
On a vu plus liaii t que les x de divers indices s'expriment rationnellement en fonctioQ de l'une de ces quantités. Il en résulte que
les divers produits y/55< , ^^^^27 ••• s'expriment rationnellement en 5 et, par conséquent, contiennent seulement les irrationnelles
y/7 et V2V 7- ^^Gst ce que nous allons retrouver aisément. On a d'abord
De là, conformément à l'équation (-7)età nos conventions sur les acceptions de y/'^^i , y/i2, s/çs,
/^,^ = -(i9-^7v/7)v/'-n/7, ^^^^ i/^Tb=Ki9-7v/7)vW7,
V^^lb^3= 9/:
Cette dernière égalité est d'accord avec le dernier terme de l'équation (66)^ comme il convient.
En prenant les racines imaginaires Y de l'équation (76), on a
comme les formules (83) permettent de le vérifier. Des formules ci-dessus, on conclut
^^2+^i^3-+-2v/^^ibb--i4-^42v/7J' = (7-^3V7>. ^.^2+ ii^3- 2/(1717^== -14+ 6v/7^'=V7(/7-^0^
puis, en extrayant les racines carrées,
( v/çb-+-/çi^3=7-^3tV7^
( M2 - /fTb = '-^ Wî + 0 V 2 \/7.
Voici comment sont ici fixés les signes dans l'extraction des racines carrées des seconds membres. D'après les égalités (71) et (82), on a
U et V étant positifs et, en outre, Y ^ U, puisque U- — V^, partie réelle de ^o, est une quantité négative, 21 — ^s/j- D'ailleurs \/^ est positive et y/?, = iy — ^,, avec y — ii> o. Il s'ensuit d'abord qu'au premier membre de la première formule (85), les parties réelles et imaginaires sont toutes deux positives. D'autre part, on a
= Uv/^'-Vv/=^;+.-(V\/ç'-u/-lT).
Or, en même temps que V >> U, on a aussi y^ >> y/ — Si ; la partie imaginaire est donc positive, et c'est ce qui règle le signe dans la seconde égalité (85).
En prenant, de pari et d'autre, les quantités conjuguées, on doit
