CHAPITRE II

échanger y/i2 avec y/^3 et changer aussi le signe de y/çVj ce qui donne

Au - Ai U = --' Wî - i) v/'^^ /?•

Autre cas particulier.

Le cas ^'3= o, que l'on vient d'étudier, présente cette particularité que les racines x y sont, deux à deux, égales et de signes opposés. Cette même particularité, mais pour une seule paire de racines, a encore lieu si l'équation (i5) a une racine commune avec cette autre équation

comme on le voit immédiatement sur la forme (i4)- Résolvant cette dernière équation, on a, en faisant ^"2^^ 4?

On a, pour cette valeur de ^-,

-^-t^-ïr^îi' = H-=7^;— n;=7i^"=n; v/7

Il en résulte, d'aprè^ Téquation (i4)> (87)

En nous bornant au cas des invariants réels, nous devrons supposer g-2. positif, sans quoi, d'après cette dernière égalité, gj, serait imaginaire. Ainsi, g^ étant positif, nous avons ici des valeurs de ^3, telles que, pour chacune d'elles, il existe deux racines x^

égales et de signes opposés ; elles sont purement imaginaires

D'après l'égalité (8^ ), on a

et A est positif ou négatif, suivant que l'on prend le signe supérieur ou le signe inférieur devant le dernier terme.

Les deux Tableaux ci-après font connaître, pour tous les cas où les invariants sont réels, les signes des parties réelles et des parties imaginaires des racines Xm- On suppose choisies, pour 2 o) et 2co', la période réelle et la période purement imaginaire : la racine x^ toujours réelle et positive, et la racine Xq, toujours réelle et négative, sont omises. On désigne par ^'j, g"^ et g'I les valeurs particulières de g^ signalées précédemment (p. 53 et 98), savoir

o-, , 7^5 , /\ ^ 9.. 32. II

La première g'.^ est comprise entre les deux autres : elle est moindre que ^3'; car on a vu qu'elle fournit un discriminant positif, tandis que g'I donne un discriminant négatif. Elle est plus grande que ^'3, comme on le voit immédiatement aussî par la comparaison des valeurs du discriminant, donnant lieu à l'inégalité

- Ij-

Cette inégalité se vérifie le plus facilement, si l'on j remplace \j^j par la réduite ~, approchée par excès.

On suppose g.^ constant; ^'3 varie de — co à -f- o). Dans le premier Tableau g^ est négatif; le discriminant est donc toujours né-