CHAPITRE II. I

SOUS la réserve que le nombre positif k' ne dépasse pas T,{n — r).

De même que, dans les cas ^=5 ou /^= ^, on peut toujours

distinguer, dans chaque groupe «, ^, c, ..., une fonction p

portant sur un argument de la lorme — ? et le nombre \l

caractérise le groupe. Les arguments, dans ce groupe, ont ainsi

la lorme — ^ — ^ /' prenant les valeurs i, i. .... ^{ii—\).

Pour le premier d'entre eux, // est égal à l'unité et /{• = jj.. Si l'on pose donc

ao=-

(l2Yf

on a

mani

fe-

àtement

oc^

-Oï

Quant à la racine x^ qui correspond aux multiples de — •> elle

donne lieu à un calcul un peu différent. En supposant z^= >

on a, par la même série trigonométrique (t. I, p. 426), limitée au premier terme

P = " / r -^ • / 25^2 cos

\ 4 sin2 —

En prenant A = i , 2, . . . , T;(/i — 1), faisant la somme et remplaçant Ti(jL) par l'expression (90), on obtient

où s désigne la somme

s-ii:

Tkr^

qu'il n'est pas besoin de clierclier, puisque nous connaissons déjà

(— \ 2 — ) et de X. On a donc

Employant maintenant la série suivant laquelle se développe ^0(1. I, p. 44^^)7 la limitant au terme en q- et mettant lay^ au

lieu de g.^-i oïi a

On en conclut

par conséquent

X —\n{n~\)-[ — 1 2 Al ( 5 /i — 6 ) Y <7 ^ Enfin, suivant la relation (91),

■ C'est effectivement ce qu'on a trouvé tout autrement (49) pour le cas nr=z^j.

Les deux relations (93), (94) fournissent, entre les coefficients de la résolvante en x^ deux conditions. Sans y insister, nous remarquerons qu'elles suffiraient, par conséquent, à compléter, dans le cas n •==. 7, cette résolvante dont deux termes seulement ne sont pas, à l'avance, déterminés au moyen de la forme symbolique (89).

Revenons à l'égalité (93) pour en conclure une propriété du discriminant de la résolvante en x^ ainsi que nous l'avons fait, au cas n = 7 (p. ^3). Nous avons n racines dont les différences mutuelles sont infiniment petites, du même ordre que ao. Le carré du produit de ces différences donne le facteur ao avec l'exposant n(^n — t), c'est-à-dire, suivant (92), £ avec l'exposant n — i. Le discriminant contient donc le facteur A"~^.

On peut aller plus loin en cherchant la partie principale de ce discriminant. Par le même raisonnement que plus haut (p. ^3), on

voit que cette partie principale est un carré, sauf un facteur nu-

mérique, ( — 1)^ /z", discriminant de l'équation binôme du

Le discriminant de la résolvante contient d'autres facteurs : son degré doit être, en effet, n{^n-\-\), d'après l'homogénéité; tandis