CHAPITRE II. lOD

que A'^-^ est seulement du degré 6(/î — i). Le facteur qui subsiste est donc du degré n(n ^ ]) — 6(n — i) =- (ji — 2)(/i — 3). C'est un polynôme entier en g.2 et g^, que l'on peut décomposer ainsi

Supposons infiniment petit un de ces facteurs, que nous désignerons par p.

Soit X la valeur limite, commune à plusieurs racines x, au nombre de m, quand ^ s'évanouit. Prenons une de ces racines x et envisageons le développement àe x — X suivant les puissances ascendantes de (3. Ce développement, comme on sait par une théorie classique, peut contenir des puissances, à exposants fractionuaires, de p.

Soit m le plus petit commun dénominateur des exposants et soit posé [^ = ^'"K Le développement de ^ — X contient seulement des puissances de p', à exposants entiers ; pour chaque valeur de (3, il y a m valeurs de [3' et autant de valeurs correspondantes de ^ — X : il y a donc m racines x représentées par le même développement.

En même temps, les autres fonctions symétriques x'^ x" ^ ..., qui s'expriment rationnellement par g\^ g^ et x^ se développent aussi suivant les puissances ascendantes de |3', à exposants entiers et chacune d'elles présente m valeurs qui sont égales entre elles quand [3 s'évanouit. Parmi les n + i équations (88), il en est donc m qui coïncident entre elles pour ^ — i- o.

Mais, sauf le cas A = o, les ;7 (/z- — i) valeurs de a, 6, ... sont toutes différentes.

Donc le nombre m est nécessairement égal à l'unité. Ainsi, pour chaque racine multiple X, d'ordre [Ji, on a ij. développements de X — X, distincts entre eux, suivant les puissances ascendantes de p,. à exposants entiers. Dans le produit des carrés des différences des racines x^ [^ apparaît donc avec un exposant pair. De là cette conclusion, où l'on tient compte de ce que A''~* est lui-même un carré, n étant impair : sauf le facteur

le discriminant de la résolvante est le carré d^ un polynôme entier en g., et g-^^ à coefficients commensurahles.

Dans ce dernier polynôme, on peut, a priori, reconnaître les facteurs ^o et «-3.

Soit, en général, un polynôme entier en g.^ et ^'3, présentant riiomogénéité requise, c'est-à-dire homogène et du degrc'î M, quand on afîecte les degrés 2 et 3 à «o et g^. Si ce degré M n'est pas multiple de 6, les facteurs g^ ou g-^ existent comme il suit :

SlSz^

(mod 6)

sh

Si S -à-

Ici l'on a M = ^ (/i — -0('^ — 3) et /i est premier. Voici donc les cas possibles :

Al 5= 5,

1^ (mod 12)5 > (mod G).

n^ii: M

Ainsi, dans les cas suivants.

Î71 — I, 71^5, \ (mod l'i).

le discriminant contient les facteurs

Si^

La racine double qui existe, dans l'un quelconque de ces cas, lorsque g^ ou g^ s'évanouit, est toujours égale à zéro. Soit d'abord ^3 = o. L'équation en x ne contient plus que des termes de degré pair. Si une racine x est multiple, il en est autant de la racine — X. La première, comme on l'a vu pbis haut, apporte à la racine carrée du discriminant un facteur.^Ç, d'exposant entier.

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La seconde apporte le même facteur. Si donc il existe une racine multiple différente de zéro, à cette racine et à son opposée répond un facteur «^j;'' dans la racine carrée du discriminant. Mais ce facteur, s'il existe, rentre dans la forme générale du polynôme en gl et gl, qui, multiplié par ^3, fournit la racine carrée du discriminant pour les deux premiers cas (90). Le facteur supplémentaire g^ ne peut appartenir qu'à une racine multiple et nulle. On peut ajouter cette remarque : dans la résolvante, le dernier terme est de degré pair /? 4- i . Contenant le facteur ^3, il le contient nécessairement au carré. Ainsi, quand n a La forme /\n' -■{- i (ce sont les deux premiers cas ci-dessus), le dernier terme de la résolvante contient le facteur g\^ comme on l'a vu pour /2 =: 5.

Soit, en second lieu, g^ = o. Les exposants de .r, dans les termes qui subsistent de la résolvante, sont en progression arithmétique de raison égale à 3. Ici (premier et troisième cas ci-dessus) n a la forme 6/1^4- i ; le premier exposant est 6/i'-f- 2, le dernier est 2. Il existe donc la racine double ^ 1:= o. On peut ajouter la remarque suivante : les racines x, infiniment petites avec g2^ sont infiniment petites d'ordre entier. Le dernier terme de la résolvante, quand g-, n'est pas nul, contient donc le facteur g2 avec un exposant supérieur à l'unité. Mais le degré de ce terme est 6/r'-t- 2; donc, quand n a la forme 6ji-\-ï, le dernier terme de la résolvante contient le facteur g\, comme on l'a vu pour n =^ ^.

Ces deux remarques, appliquées au cas n ~- i3, par exemple, font connaître le facteur glg\ dans le dernier terme de la résolvante ; ce dernier ternie est ainsi connu complètement, son coefficient numérique étant donné par la forme symbolique (89). Ce dernier terme est ainsi

Nous avons à examiner les relations qui lient, entre elles, les quantités a. b^ c, d^ ..., répondant à une même racine x. Ces relations, dans les cas n = 5 et 71 = 'j, ont été trouvées par le théorème d'addition. Il est clair qu'on peut les trouver aussi par les formules de multiplication, en exprimant que 6, c, <^, . . . , sont les valeurs de la fonction p pour les arguments doubles.

triples, etc. de l'argument correspondant à a. Ainsi, les quantités a, b^ c, r/, ... sont rationnellement exprimables en fonction de l'une quelconque d'entre elles,

A ce sujet, la première question est de savoir comment «, 6, c, <i, ... s'échangent quand on met, à la place de a, une autre de ces quantités, Z?, c, . . ., dans/'< , /o, /;], ....

Désignons par /' une racine primitive du nombre premier n^ c'est-à-dire un entier tel que ses puissances i, /•, /--, ..., /''^"^ soient, à des multiples près de x, égales aux nombres i, 2, . . ., {n — i), dans un certain ordre. On sait, par les éléments de l'Arithmétique, qu'il existe de telles racines primitives. Parmi les puissances de ;% celle qui a l'exposant \[n — i) est égale à l'unité négative — i, quelle que soit la racine primitive r, en sorte que

les puissances i, /', /'-, ..., /"^ reproduisent les nombres i,

a, . . ., ^ (/i — i), aux signes près. Gomme la fonction p est paire, le signe de son argument est indifférent, et l'on peut poser

n " n " /i "ai

Chaque quantité se déduit de la précédente au moyen de la multiplication de l'argument par r et a se déduit aussi de la dernière, /, de la même manière, puisqu'on a

r^ == — I (mod/i), E£H

Tl est donc évident que les échanges entre a, 6, c^ d, . . ., ainsi rangés, se font par voie de permutation circulaire.

Cet ordre de «, h, c. d^ ... n'est pas unique : il change avec /•; mais nous n'examinerons pas comment.

Comme p{ru), par la formule de multiplication, s'exprime en fonction rationnelle de pw, h est une fonction rationnelle de a, c est la même fonction de ^, .... Cette propriété, comme on le sait, permet la résolution de l'équation (88) par radicaux ; chacune des quantités a^ b^ . . . s'exprime explicitement par la somme