CHAPITRE II

de radicaux d'indice 4(/^ — 0- C'est ce qu'on a vu dans le cas n=^'j. Ainsi, quand une racine x de V équation résolvante est connue, les quantités cor respondantes a, ^, c, ... sont exprimables par radicaux.

Quand on considère seulement a, Z>, c, <i, ..., c'est-à-dire les valeurs de la fonction paire p, les signes des arguments sont indifférents. Il faut, au contraire, les définir, quand on veut envisager les valeurs de p' y avec les quantités y-'f a, \ 'f ^î • • •? suivant la notation des Chapitres précédents,

Pour les nombres premiers n, de la forme n ^ /\n' — i (comme y, II, 19, ...), il convient de prendre les arguments précédents,

en alternant leurs signes; ce sera donc — ? multiplié successivement par

I, — r, r^ —H, ..., et /■2(/i'-i).

De cette manière, on passe de chacun au suivant en le multipliant par — r et, par cette même multiplication, on passe du der-

nier au premier, puisque, on i a deja dit, r^ reproduit — i et

cpie ( — i)^ est ici égal à — i. Soit alors

la formule de multiplication par /•. On en déduit

et, par conséquent,

En prenant semblablement les formules de multiplication par les divers nombres i, 2, ..., \[n — i), on exprimera les quantités

ycpc, \/od, . . . sous forme du produit de ^''fa et de fonctions rationnelles de a. On en déduira

(96) y/oa cp6. . .cp/ = F(a) (v/cp«)'^ =G(a)y/cpa,

et G(a) est une fonction rationnelle, puisque r,(fi — 3) est un nombre pair. Le produit

(97) oa.ob.'^c. . .'^1= X,

symétrique par rapport aux racines de (88), est une fonction rationnelle de œ. En permutant circulairement les lettres, on a, pour le cas n = 4 f^' — 1 ,

(98) G(a)v/ôâr^G(6) v/-J7^... = /X,

OÙ G et IL désignent des fonctions rationnelles.

Pour les nombres premiers /?, de la forme /\n'-\-i^ cette analyse ne peut être employée : quel que soit le choix des arguments, ils ne s'échangent point entre eux par voie de permutation circulaire. Nous allons le montrer.

Désignons par a, [^, ...,). des quantités, toutes égales à ± i, chacune avec un signe déterminé. Les arguments, de quelque manière qu'on les choisisse, seront entre eux comme les nombres i, 2, . . ., r,{n — i), multipliés respectivement par a, p, .... ).. Soient ycprt, V'f^^ ••• P^^s avec les signes qui se rapportent au choix i, 2, . . ., \[n — i). Pour le choix adopté, on devra prendre ay oa, [jy cpZ^, ..., Ây/'j/. Multiplions tous les arguments par un même nombre entier m. Soit /' un des nombres 1,2, . . .^ ^[n — i). Le produit nir^ aux multiples près de /i, est égal, soit à r', soit à n ■ — /', r' désignant un autre nombre de la même suite i, 2, . . .,

|(/i — i). La quantité c, qui se rapporte à l'argument ~ — est remplacée par une autre c\ se rapportant à l'argument-^ ; vycpc

est remplacé par zhvy'cpc', avec le signe plus ou moins, suivant que nir a la forme /-' ou la forme /i — r'. Disons que yy?^ ^'^'' remplacé par y^ y y^cp c'.

S'il y a permutation circulaire pour le choix des arguments adoptés, les formules (98) ont lieu, sauf multiplication des premiers membres par a, [3, . . . , A. Il en résulte que les diverses quantités yiyy'fc' doivent reproduire les diverses quantités y\/'fc, soit telles quelles, soit changées de signe, toutes à la foi6 ; en