CHAPITRE II

d'autres termes, on a riyrr^sy', la quantité ambiguë s — zh i étant la même pour chacun des nombres r considérés. Il y a ~{n — \) de ces derniers. Le produit des quantités y< est donc

égal a £

Tout ce raisonnement s'applique aux deux cas n =^ /\ n' zt: i \ c'est maintenant que les deux cas se distinguent. On sait, par les éléments de la théorie des nombres, qu'on peut choisir m, de telle sorte que le produit des quantités y^ soit, à volonté, +1 ou — i , C'est H- I, quand 771 est résidu quadratique de 7i; c'est — i, quand

?n est non-résidu. Or, si n a la forme /\n' -\- i, £^ est toujours

égal à H- I . L'hypothèse, en ce cas, est donc impossible et c'est ce qu'on voulait prouver.

Dans les deux cas 77 = 4'^'=^ '? quand on a choisi, pour lui assigner la lettre initiale a, l'une des racines de Féquation (88) et qu'en outre on a pris ad libitum le signe de y/'f ^7 l^s autres quantités b^ c, . . . y 'f ^? V^'f^î * • • sont entièrement déterminées, en l'onction rationnelle de a et de vAp«, par les formules de multiplication. Ce système «, 6, c, .. . , \/^a^ v/'f ^> V'f ^' . . .^ x étant donné, a ainsi ii — i déterminations distinctes, tenant au choix de a et à celui du signe devant \/'z>a.

Dans le cas n = /\ji' — i , si l'on se donne a priori le signe de y/X, on fixe, par là même, le signe de \ 'f «, et le système n'a plus que ^(/i — i) déterminations. Se donner ainsi le signe de y/X, c'est ce qu'on appelle 5 '<2c//*077i<:/7-e l'irrationnelle y/ X : par cette adj 0 ne tionle nombre des valeurs du système est réduit de moitié.

Dans le cas n=:/ln'-{-i, une réduction analogue s'obtient aussi, mais différemment. Reprenons l'égalité (96) en observant que 77(71 — i) est alors pair, pour en conclure

G désignant encore une fonction rationnelle etXla fonction (97). Permutant les lettres, on a y 06, ..., y/'f/, — y/cpa au lieu de y/coa. . . . , y/ es/. On en conclut

(99) x^X = Gia) = - G(b) = Gic) = - G{d) = ....

112 TIIOISIÈME PARTIE. — FUAgMENTS.

Si Ton se donne a /^/^'or/le signe de y X, une quelconque des racines ne peut plus être prise pour a : le choix ne porte plus que sur la moitié de ces racines, celles pour qui la fonction G est égale à \/X, tandis que les autres donnent, pour G, la valeur — y/X. Il y a donc à choisir seulement {(/z — i) valeurs pour a\ le signe de \oa est ensuite ad libitum. Ainsi, dans le cas /i = 4^^' -t- I , le nombre des valeurs du système «, h, . . . , y^cpa, y/o^, ... est réduit de moitié par l'adjonction de la même irrationnelle que dans le cas n z=^ f\i}! — i. Mais, dans un cas, la

réduction porte sur les valeurs de sj^a^ V ?^' ••• 5 cl^J^s l'autre, sur celles de rt, Z^, c, . . . .

Nous abordons maintenant l'étude de la manière suivant laquelle, deux racines x et x^ de la résolvante étant données, les autres s'en déduisent. Nous supposerons, pour le raisonnement, les arguments de a, ^, c, ... choisis, dans tous les cas, comme il a été dit pour le cas /?=4'^' — ^i c'est-à-dire en progression arithmétique de raison — ;% /' étant une racine primitive de n. C'est pour l'uniformité que nous adoptons ce choix; car, au cas n--f\ii!-\-\^ la raison /' ou la raison — r reviennent au même, puisqu'alors — r est racine primitive comme r.

Les deux systèmes «, ^, . . . , \/'f «, V'f ^? • • • etao, ^o, • • • 7 V 'f'^o, y'cp6o,... ont chacun (/? — 1) déterminations; nous choisissons l'une d'elles et, par les formules d'addition, nous composons les systèmes analogues, correspondant aux autres racines. En dési-

gnant par — 1 argument de a et y/ 'fa, par - - celui de «0 et yf «01 nous définissons a^^ et \l'^ci^^ par l'argument ^Vj^^,

2 ( w' -^ fJL tO ) ^ Il

Tous les autres arguments se déduisent de là suivant la loi qu'on vient de rappeler. De cette manière, on trouve «4, 6< , Ci , . . . y cp^i , Vf ^0 Vf ^«5 • * • exactement par les mêmes formules (36, 38) que dans la division par ^. En additionnant «i, &,, C'i, . . . on obtientXi exprimé rationnellement par a< , 6i , ... «o? ^o? • • • Vf ^' • • •' c'est-à-dire x^ exprimé explicitement en fonction de a: et de ^0