III

Il4 TROISIÈME PARTIE. — - FRAGMENTS.

on change les signes de \j'^a^ \r^^ ' ' -^ ^^ obtient, encore dans l'ordre a, b, . . . , les r, {n — i) autres systèmes correspondant aux autres valeurs de l'indice a. Tous les systèmes rt^., Z>^,, . . sont ainsi obtenus par la seule permutation du système a, b^ ....

La permutation du système «^o, ^o^ • • • remplace, de même, l'argument a ^ par

en sorte que les formules (36) donnent, au lieu de a^, la quantité b avec l'indice r^" ', et, avec ce même indice, c au lieu de h^^ .... Une seconde permutation donne, avec l'indice /""% c au lieu de «,, .... Si maintenant on ajoute «i, 6,, . . . pour former x^, voici les résultats : la permutation du système «, 6, . . . a pour effet de multiplier l'indice x^j, par — r; celle du système «o, ^o, • • •

a pour effet de multipHer cet indice par r^ . En outre, le changement du signe de \/cp«, Vf ^^ - • • ' ^" ^^ V^'f'o' Vf ^o, . - • se traduit aussi par un changement de signe pour l'indice de x^. On peut exprimer les mêmes conclusions en termes plus frappants, comme il suit : La permutation du système a, b^ . . • multiplie Viiidice par — r; celledu système «o, ^o, • • • multiplie l'indice par — -; le changement du signe de yf «, . . . , ou de yf «o?

multiplie V indice par — i . 11 est, en effet, convenu que la notalion des congruences s'étend aux fractions, en sorte que l'on peut écrire indifféremment

;.2^ =—1 OU r2 == (mod/i).

Si avec x on s'adjoint y/X, on peut, au cas n =- 4//-- i, permuter le système a^ b^ . . . , mais non changer les signes de y/cpa,

Il reste donc seulement les substitutions dans lesquelles les indices |Ji sont multipliés par i, — r, r^, Ces derniers sont les

résidus quadratiques de n. Mais les puissances de — - sont ces mêmes résidus. Ainsi, au cas n=^^n' — i, si l'on s'adjoint y X et

CIIAriTRE II. II 5

y/Xo , il reste seulement les substitutions qui multiplient les indices par un résidu quadratique. On parvient évidemment au même résultat en s'adjoignant seulement le produit y/XyXo : ceci résulte des formules mêmes, où chaque quantité \/'^ci apparaît toujours multipliée par une analogue y/cpao- On peut le reconnaître aussi comme il suit : soit s = i ou s rz^ — i suivant qu'on change, ou non, les signes de y 0(2, .... Un changement dans le système a, b^ . . . a pour effet de multiplier l'indice par (— i-y^z. Un changement dans le système «o? ^o? • • • multiplie ce même indice par

/ — - ) £. La quantité ambiguës est la même, de part et d'autre,

puisque le signe de \/ X y/Xo doit rester invariable. Dans la multipHcation, qui résulte de là, s disparaît donc.

Au cas n. --= 4'^'+ I7 l'adjonction de y/X laisse subsister seulement la permutation où «, b^ c, c/, e^f est remplacé par c, d^ e, /', . . . , et celles qui en dérivent; à quoi il faut joindre le changement des signes de \''oa^ .... Il reste donc la multiplication de l'indice par /'-, par — ;•-, et par leurs puissances. Ici encore, ces nombres et leurs inverses sont les résidus quadratiques de /z, et la conclusion est, de tout point, la même que dans le cas précédent.

Nous allons voir maintenant l'expression définitive et extrêmement simple de cette irrationnelle adjointe y XXo . Considérons les racines x^^^ à l'exception de x et de ^0? et prenons leurs différences deux à deux. Soit (fx, v)= x^ — x^^ww^ de ces différences. Si [Jt. -f- V n'est pas congru à zéro, nous pouvons grouper ensemble les quatredifférences (ix, v), ( — |ji, — v), ([ji, — v). ( — [ji, v). Nous avons des groupes A de quatre différences; le nombre de ces groupes A est | (/i — i)(/i — 3). En outre, nous avons :^(/i — i) différences B, de la forme (a, — [jl).

Chacune des substitutions que nous avons à considérer s'effectue en multipliant les indices par un même nombre. Dans ces substitutions, la distinction des différences, sous les noms A et B, est respectée. Un groupe A se change en un autre groupe A', une différence B en une autre différence B\

Le produit de toutes les différences constituant les groupes A demeure invariable par toutes les substitutions considérées, sans adjonction de yX ni de y/Xo- C'est dire que les formules font

Il6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

apparaître ce produit comme contenant a^b, . . . , Gq^ bo, . . . sous la forme rationnelle seulement, et de telle sorte que ce produit reste invariable par les permutations circulaires de «, ^, . . . et de (^0? ^07 • ... 11 suffit d'ailleurs de se reporter aux formules pour vérifier rcxactitude de ce fait. Ce produit peut donc s'exprimer sous la forme F(a, ao), où F est une fonction rationnelle; mais on peut, indifféremment aussi, remplacer, séparément, a et a^ par /^, c, . . . ou bo, Co, .... C'est donc une fonction symétricpic, séparément, de a, b, c^ . . . ^ ainsi que de ao,^o?<^o? -i et, par suite, une fonction rationnelle de x et de Xq.

Le produit des différences B n'a pas la même propriété. On a, par exemple,