X-t — Xi

et, de même, chaque différence B contient, à tous ses termes, le

produit d'une quantité \^'fci, . . . par une quantité \/cp «o? • • • • Dans le cas n=^/yn' — i, chacune de ces différences, en vertu des égalités (98), apparaît donc comme formée du produit de y^XX,) par une fonction rationnelle de a, . . . , «o? • • • • Le nombre de ces différences est ^{ji — i), nombre impair : c'est donc le produit do y XXo par une fonction rationnelle. Cette dernière reste inaltérée par les permutations des deux systèmes «, b, . . . et «05 ^oi • • •• Donc, enfin, le produit des différences B est égal à une fonction rationnelle de œ et de x^, multipliée par y/XXo- C'est aussi ce qu'on peut trouver en observant que le produit de diflerences

en ce cas 71=^ 4'^ — : i^ reste inaltéré quand on multiplie tous les

indices par — /• ou par ? mais que, le nombre des facteurs

étant impair, ce produit échange son signe quand on multiplie tous les indices par — 1 .

Ce dernier mode de raisonnement peut servir aussi dans le cas /? = /\n'-}- I, où la multiplication par — i laisse ce produit inaltéré; il en est autant de la multiplication par /-, /•'', . . ., tandis que la multiplication par — /• échange le signe : en effet, le der-

CIIAPIÏIIE II. iiy

nier facteur se change en (i, — i), tandis que chacun des autres se change en celui qui le suit. Le même fait a lieu pour \/X, comme on l'a vu par les équations (99). Le produit considéré est donc égal à y X multiplié par une fonction de a., b, .., inaltérable dans toutes les substitutions envisagées. Il est de même le produit de y/Xo par une pareille fonction de «o, ^o? • • ■• Donc enfin , dans les deux cas n = /i n'dz i , le produit des différences B est égal à y/XXo multiplié par une fonction rationjielle de x et de ^0) <it} y^«/' suite, il en est autant du produit de toutes les différences A. et^.

Soit <ï>(.r) le premier membre de la résolvante en x. En multi-

pbantle produit précèdent par ? on obtient le produit de

toutes les différences des racines x^ x^^ . . . , ^^ , prises deux à deux. C'est la racine carrée du discriminant de la résolvante. Or on a vu

quecetteracinecarréeestrationneMe,sauf le facteur y ( — 1)^ En conséquence, y/X.Xo est le produit cVune fonction rationnelle de g2y ^"37 ^1 ^01 à coefficients entiers, par la seule irrationnelle V ( — i)" '^•

Les résultats qu'on vient d'établir permettent de reconnaître rapidement si une fonction donnée àc x^^ x.2, ... peut être exprimée rationnellement en x et Xq. Cherchons, par exemple, à accoupler les indices, de telle sorte que la combinaison

(100)- Xa.Xf^-\- X-rXZ-\-. . .

puisse s'exprimer ainsi. En multipliant tous les indices par un même résidu quadratique, on devra reproduire les mêmes couples, dans un ordre d'ailleurs quelconque. Il faut donc, en premier lieu, que l'on ait

^ E^ pa, 0 E^ pY, ... ( mod n );

en d'autres termes, que le rapport des indices, dans chaque couple, soit constant. Si le rapport constant p est résidu, a et pa sont, en même temps, tous deux i^ésidus ou tous deux non-résidus. Chaque couple est alors composé de deux résidus ou de deux non-résidus. Ceci n'est possible que dans le cas où n a la forme /\n' -\- i, puisque

Il8 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

le nombre des résidus, égal à l- (ji — i), doit aussi être pair. Soit h le plus petit exposant positif donnant p^ e^ i (mod/i). On aura nécessairement les couples d'indices

(I,p), {p,p^), (p2, p3;, ..., (pA-2,p/.-l), (p/^-i,i);-

d'où la condition p ^ p'^~', c'est-à-dire p- ^ i et, par conséquent, p ^E — I. La seule combinaison possible est donc

(lOl) a^liT-i -f- .ToiP-s-r-. . . ,

qui reste inaltérée quand on multiplie tous les indices par un nombre quelconque, résidu ou non. C'est donc une fonction rationnelle de X et de Xq^ de g\ et de g-;^, à coefficients entiers, sans adjonction de \/ a. Nous l'avons considérée d('jà au cas n ~— 5. Elle a évidemment la même propriété quand n a la forme /\n' — i; mais — I est alors un non-résidu, et elle rentre dans la catégorie qui reste à examiner, celle où p est non-résidu.

Ce second cas n'offre aucune difficulté. On prendra tous les résidus a, a', a!' , .... A chacun d'eux on adjoindra son produit par p, formant ainsi tous les non-résidus. Les t,{ii — i) couples, obtenus de la sorte, constituent, pour chaque p, un ensemble unique, satisfaisant aux conditions requises. Si, en effet, on multiplie tous les a par un même résidu m, on reproduit les a dans un autre ordre. Chaque couple (a, pa) se change alors en un des autres (7/, pa'). On a donc bien une fonction rationnelle de x^ ^„, g^, g^ et de y'zh /i. 1^'adjonction de cette irrationnelle est indispensable. Si, en effet, on change le signe de cette irrationnelle, il faut, en même temps, multiplier tous les indices par un non-résidu m'. Dans cette multiplication, m'oL est non-résidu et /?i'pa est résidu. Soit donc

m'^7.= [j. Le couple (a, pa) se change en celui-ci ([^, -fij, de

même définition, mais répondant, non plus à p, mais à -• Ainsi,

P ai^ec chaque non-résida p, on peut forme/' une combinaison

unique (100), qui soit une fonction rationnelle de x^ .r,,, g^^ g^ 5

les coefficients de cette fonction sont des nombres entiers, sauf

r irrationnelle y n( — i)^ . La combinaison semblable, foi-