CHAPITRE II

mée avec -■> se déduit de la précédente par le changement du

signe de cette unique irrationnelle.

Pour avancer encore dans l'étude de ces fonctions, examinons ce c[u'elles deviennent si l'on y échange x et Xo- Parmi les changements d'indice qui correspondent à cet échange, figure celui de chaque indice en son inverse. En effet, l'échange de a et y/cpa avec 6ro et ^ cprt,) remplace

ar

2 ( {JLW -h tO ) __ ' \ [i.

En considérant toutes les substitutions qui peuvent être faites sans échanger x et ^,,7 o^^ voit que, de la manière la plus générale,

réchange de x et de Xq se traduit par le changement de [a en - , v étant un nombre indépendant de [x.

Il importe de savoir si, dans ces échanges, le signe de l'irrationnelle adjointe doit être conservé ou changé. Examinons cette

question pour le changement de p. en -• Considérons, de nouveau,

pour ce but, les produits de différences, comme nous l'avons fait précédemment (p. 1 15). Parmi les groupes A, on peut distinguer ceux où l'on a |jlv eee i ; le produit des quatre différences d'un tel groupe reste inaltéré par le changement de chaque indice en son inverse. A chaque autre groupe A, on peut adjoindre celui cjui lui correspond par les conditions [j.pi'^ i , vv'e^ i . On voit donc que le produit de toutes les différences A reste inaltéré. Parmi les différences B, on peut également adjoindre à ([j., — [i.) cette autre

(-J jj etie produit en reste inaltéré. La différence (r, — i)

fait exception, mais elle reste inaltérée elle-même. Enfin, s'il existe un nombre \l satisfaisant à la condition ij.-Erz — ^ i (mod /?), la différence (pi, — [jl) se reproduit, changée de signe. Ceci arrive si n a la forme /\n' -i- 1, et dans ce cas seulement. Le produit des

différences A et B se multiplie donc par ( — i)- . Or nous

avons vu que ce produit, multiplié par^ — Xq et par une fonction

symétrique de x et de Xq^ est égal à l'irrationnelle considérée. Comme .x — ^o^ dans la substitution, échange son signe, on peut conclure ainsi : quand, échangeant x et Xo, on /emplace chaque indice par son inverse, on doit, en même temps, multi-

plier i irrationnelte y n{ — i )- par ( — l'r

Considérons la fonction (loo), formée avec le non-résidu o, nous avons

ya7py-T-. .. -= ^{X, X^)~ yJX, ^o)'

La fonction analogue, formée avec-? a l'expression conjuguée

Prenons les inverses - et — des indices accouplés dans la pre-

a pa ^ ^

mière combinaison. Comme - est résidu ainsi que a, le couple f -? ) est un de ceux qui se présentent dans la seconde combinaison. On passe donc ainsi de la première à la seconde par le changement de l'indice en son inverse. Ce changement, on vient de le voir, doit être accompagné de l'échange de x et Xç, et de la multiplication de 8 par (-- i)'^ . On a donc

^(x, x^) — y(x, Xo)^ = ^(xo, x)-^ ( — O'"^ yS^o, ^)0;

d'où résulte, les fonctions ^ et y étant rationnelles, à coefficients entiers,

<\i(x, ^o)=-- "^{^'0, ^), yj.^, ^o) ^ ( — i)- ' xOo, ^)-

En conséquence, ^ est symétrique en x et Xq-^ y est symétrique aussi, sauf, dans le cas n = /\n' -{- i, le facteur x — Xq.

Exemples. — Nous mettons, pour abréger, une seule lettre /, •|. . . . qui représentera une fonction rationnelle de x, Xq^ g^, g^^ à coefficients entiers, et symétrique en x, Xq.