II

II ; résidus i, 3, /}? '^7 9 5 non-résidus 2, 6.

^1^10-^ ^3^3 -^^4^7 -T-a^ga7.; -^ir<j.r.2 = /,

371^72 -^373^^6 —^43^8 -r-a-5a-io-r-^9^7 ^^

Xi^Tg -f-ir;}.r7 ~X!,X2 -+- x-^x^ -^ X()Xio ~

XiX-i -h iTs a^i 0 -+- 37^ 376 -^ X-^X<i —X.yK^ —

.ri 3-8 -^-.^3 3-2 -^ X!,XiQ-^ x■iX^ -t- x^Xc, — i3 ; résidus 1, 3, 4? 9» '^7 12 ; non-résidus

37) 372 ~^ ^3 ^G "^ ^4 ^8 ~^ ^Q ^6 Xi 377 -r- 373 3^8 -^ ^4 ^2 -- ^9 ^1 1

■ ■37io 377 ~ 3712 3^11 — 0 -'- (37 — 3^0)^1 V l3, ^10 •'2"o -+- -^^n^G rr= 0 — ( 37-^ 37o)0i y/TS,

Examinons encore les changements qui s'effectuent entre les indices quand on remplace Xq par ;r,. On peut obtenir ce changement en remplaçant w' par toM- w, c'est-à-dire

2 ( w' -h {XW )

par

'fX+l

en ajoutant donc une unité aux indices o, 1,2. . . . , n — 1), dont le dernier devient ainsi zéro. Si l'on fait précéder et suivre cette substitution de celles qui laissent en place les deux racines initiales, si donc on multiplie l'indice primitif [a par un nombre arbitraire v et l'indice transformé par un autre nombre arbitraire v', on voit que le changement de Xq en ^i, de la manière la plus

générale, s'effectue au moyen d'une substitution linéaire, remplaçant [j. par/?|ji -r/>S oiip elp' ne dépendent point de a.

Considérant seulement le changement de {/.en |j. 4- [ , voyons si l'irrationnelle adjointe doit être, ou non, changée de signe. Rangeons, dans chaque différence x^^ — Xv, les deux lettres, de telle

sorte que l'on ait |j(.<:^v, les indices étant supposés o, i, 2,

71 — I . Cette disposition n'est pas altérée par le changement de iJi et de V en [j. -i- i et v -4- i , sauf pour le cas v = /? — i . Mais, pour cette valeur de v, il y a « — i différences, correspondant à [jl = o, 1 , 2, . . . , (/i — 2) ; donc point de changement dans le signe. Enfin les différences x — ^jj^ se reproduisent les unes les autres. Donc enfin le produit de toutes les différences reste inaltéré. En répétant la même opération, on peut conclure ainsi : Quand, en remplaçant Xq par ^,j , on augmente tous les indices de \x unités, l'irrationnelle \!± n reste inaltérée. Par exemple, dans le cas /2 n^ ^, on a simultanément

^1 X-i -'- 37, ^6 — ^4 ^"3 ~ '\ ( ^j Xq ) -^ ^1 (^'j ^0 ) V^— 7 J

Nous sommes en mesure de connaître les substitutions qui accompagnent le changement de x et de x^ en deux autres racines quelconques.

Soit à remplacer x par Xh et Xq par x/(. De la manière la

I ' ' 1 ^ I 1 ^ ' 1 2 Cl) 2 (0

plus générale, ce résultat soutient en remplaçant — et — par nv/i et sw/f, r et s étant deux entiers quelconques, c'est-à-dire

oj' par r(w'--Â:w), w par ,s(o)' -r- Aw).

Alors to'-h [AO) est remplacé par

r(w' -t- /cw) -i- [j.5(w'-i- Ato ) -- (six -h ;■ )to'-h {hsix - kr)o).

Si l'on pose

(102) V =s — * (mod n),

5 [JL -H /•

on voit que w^ est remplacé par (^{j. +- /•)^Vv, donc x^ par ^v- L^