CHAPITRE II

substitution linéaire et fractionnaire (10-2), prise suivant le module n^ traduit donc tous les changements qui peuvent accompagner le remplacement de x par Xh et celui de ^0 pai" ^k-

Ou remarquera qu'il faut prendre a ^= co pour obtenir y = h. C'est pourquoi la racine x est souvent affectée de l'indice go .

Voyons enfin ce qu'il advient de l'irrationnelle adjointe, lors de la substitution (io'a). Posons successivement

Ce nombre v coïncide avec celui qui donne la formule (102). Nous l'obtenons par une suite de substitutions rentrant dans les tvpes étudiés jusqu'ici.

La première et la dernière, on vient de le voir, n'altèrent pas

l'irrationnelle adjointe. La deuxième et la troisième multiplient

cette irrationnelle par -^ i ou par — i, suivant que — t, pour la

première, et ? pour la troisième, sont résidus quadrati-

cjues ou non-résidus de n. Il y a donc multiplication par -f- 1 ou

par — I suivant que ^ est résidu ou non-residu. Jj.n multipliant par 5-, c'est le caractère quadratique de rs(Ji — A) que l'on aura à considérer. Enfin, si, au lieu de mettre h et k en évidence, on écrit le second membre (102) sous la forme d'une fraction du premier degré quelconque, on peut énoncer ce théorème général :

Quand on échange entre elles deux paires de racines, tous les changements d^ indices se font au moyen d' une substitution linéaire fractionnaire prise suivant le module /^, en sorte ciue

tout indice ]j. est remplacé par ■—- — ^- (mod/?), les nombres

entiers p, cj, p' , cf étant indépendants de \l. TJ irrationnelle adjointe conserve ou change son signe suivant que le déterminant de la substitution {pq' — qp) est résidu cjuadratique de n ou non-résidu.

Cette dernière partie de la proposition, en d'autres termes, signifie que, dans les substitutions envisagées, le produit de toutes les différences {x^ — ^v)? J compris jjl =^ 00, conserve ou change son signe suivant le caractère quadratique de pc/ — qp' . Elle prend

son origine dans les idées précipitamment émises par Galois; elle a été trouvée par M. Hermite (M-

Dans le cas /? =: 5, nous avons démontré qu'on a

Il s'agit de reconnaître s'il existe d'autres cas où, en ajoutant le terme xxq à l'une des sommes (loo), on obtient ainsi une fonction qui reste invariable quand on y remplace x et Xq par deux racines accouplées dans la somme ou conjointes.

Soient a, pa ces deux indices conjoints, en sorte que, remplaçant X et Xq par Xr^ et x^r^^ on doive voir la somme

rester inaltérée, chaque couple se transformant en l'un des autres. Observons d'abord qu'on peut supposer x remplacé par Xq^ ou par ^pa, Xq étant, en même temps, remplacé par la racine conjointe. Prenons le premier cas : S se reproduit quand x^ remplace X et ^pa remplace x^- Cliangeant tous les indices en leurs inverses, nous vovons que S', conjuguée de S, se reproduit quand

Xi remplace x^ et x ^ remplace x. A l'égard de S' , - joue le

même rôle que p à l'égard de S ; c'est - qui est le premier indice

dans le couple ( - ? — )• On le voit donc, si, pour S, l'indice zéro est

remplacé par le second indice d'un couple, alors, pour la somme conjuguée, l'indice zéro est remplacé par le premier indice. A condition d'envisager toutes les sommes S, S', . . ., on peut donc se borner au cas où ^^ remplace x. Si l'on trouve ainsi une somme S satisfaisant aux conditions requises, il y aura, en même temps, à étendre le résultat à sa conjuguée.

La substitution des indices se fait suivant la formule (102), où, sans moins de généralité, on peut prendre s=i', on doit y supposer

h = a, k — poc.

( ' ) Su/- la théorie des ëquatiotis modulaires, p. 69.