CHAPITRE II. I2D

L'indice [j. est ainsi remplacé par

(loi) a' • (xnodn).

Par conséquent, ^ et p[^ sont remplacés ainsi :

(io5)

? par atl^-^P^^', p3 par ap-^ =h [i".

En particulier, les indices — /et — p/- sont remplacés par co et o, en sorte que la somme S, transformée de S, qui contient déjà le couple ^a-^pa, transformé de œxo, contient aussi le couple x,Vq, transformé de x rJ'^pr' Pour chaque valeur de p, autre que — /', le couple ([^', j3") doit reproduire un des couples de S. Le rapport [j' : p'^ doit donc être p ou son inverse. Dans ce rapport a disparaît. Si donc les conditions qu'on va trouver sont rem plies, S sera invariable par la substitution d'un couple quelconque au couple xXq.

Les expressions de [3' et p'' donnent

p, __ ap — 8' ^ « -"- f^"

7- ^ y -ic" ' ^ ^ f-^ ' Si l'on suppose j3'^=^ p^^ la dernière égalité devient

d'où, avec la première, on conclut

(lOb) L. ^ -^ +p + I.^O.

Si l'on change, dans les expressions (io5), p en son inverse, [^' et [j'' se changent eu ^ gI jy,- La supposition [i' ^m p'p" est donc traduite, de même, par la relation

Les conditions du problème exigent donc que, dans chaque couple, le premier indice [3 soit racine de r une ou Vautre des deux congTiiences (loC), 107). Bien entendu, le couple ^^0 échappe à cette condition, ainsi que le couple ^;-.r,p, qui, lui aussi, entre dans la composition de S.

Dès maintenant, les cas possibles sont étroitement limités. Chacune des deux congruences («oG, 10-) a, au plus, deux solutions, permettant la construction de quatre couples au plus. Avec les deux couples xx^^ et x r^-rç^ on en a donc six, au plus; donc /2 -j- I 5 1 2 ou /i il 1 I .

Les seuls cas à envisager concernent donc les nombres premiers Il -= 5, 7 ou I I , et l'on pourrait se borner à examiner successivement les sommes S, en petit nombre, obtenues par l'addition de xXq aux sommes lormées plus haut. Mais on peut rapidement aussi terminer cette analyse directe, comme nous allons le faire.

Et, d'abord, supposons 0 = — i, hypothèse qui correspond aux sommes dénotées / dans les exemples ci-dessus. Les congruences

(106", IO-) coïncident, toutes deux, avec celle-ci : i-\ -4- i eu o.

Gomme — i doit ainsi être résidu quadratique, l'hypothèse n ^^ 5 est seule ])ossible. On obtient de la sorte la somme (io3). Elle est unique, étant égale à sa conjuguée.

Pour les autres cas, écrivons la congruence (106) sous la forme

mettant ainsi en évidence que (p-f- 3) (p — i) doit être résidu quadratique de n ou nul. S'il en est ainsi, la congruence a deux solutions ou une seule. En outre, p' doit être le premier indice dans un couple, par conséquent résidu. Or on a

ou, d'après la congruence (108).

Gomme a est résidu, il faut que p — i le soit aussi. Par conséquent, les conditions nt'cessaires et suffisantes pour que [j' soit