CHAPITRE II
le piemier indice et ^" le second indice dUin même couple appartenant à ^ se réduisent aux suivantes : p -f- 3 e/ p — i doivent être résidus quadratiques de n.
Changeant o en son inverse et observant que p est non-résidu, on conclut aussi les conditions pour que ^^' soit le premier indice et 1^' le second : i -\-?>o et v — p doivent être non-résidus.
Enfin les indices — r et — p/- devant former un couple, on doit prendre — /' égal à un résidu.
Il ne reste plus qu'à examiner ces conditions pour /i = 5, - ou I I , en prenant successivement les valeurs diverses de p :
/i — 5 ; p -- '2, p — I résidu, p -h 3 ^~ o.
La congriience (io8) donne [j=r, et l'on peut prendre /^= dz i . La fonction
( I 09 ) XXq -^ X^X^-^ X;, X^
se change en elle-même par la substitution qui remplace l'in
Pour le cas p z= 3, il suffit de changer l'indice et l'indice transformé en leurs inverses, de sorte que la fonction conjuguée
dice \L par a ^^ — ? où a et /• sont, tous deux, égaux à zfc i
(IIO) XXQ-^-X^X-i-^ x<^x^
se change eu elle-même quand on remplace l'indice \x par
7^ — y; p = 3, p-h3, i-i-3p, I —p non résidus,
La congruence (107), c'est-à-dire celle que l'on déduit de (106) par le changement de p en son inverse donne, pour p, les valeurs 3r et 5/\ On a ainsi, pour le premier indice, les valeurs — /', 3/', 5/' qui coïncident, comme il convient, avec les trois résidus 1,2,4, si l'on prend, pour /■, un quelconque des non-résidus. Par conséquent, la somme
( l I I ) XXq -^ XxX-i-T- X^ X(i-\- Xf^X^
se change en elle-même par les substitutions qui remplacent l'in-
dice tji par a ^ — — , où Ton doit prendre a — - i , 2 ou 4 ; /' ^= 3, 5 ou 6.
Sans qu'il soit besoin d'examiner le cas p = 5, on conclut que la fonction conjuguée
( 1 1 •>.) ccxo — .T 1 X5 — .ro a?3 ^ X;, x^
se change en elle-même dans les substitutions remplaçant u. par
3 r [JL — I
/i — 1 1 ; Ç) — 1] p-l-3, p — I résidus; i-f-3p, 1 — p non-résidus.
La congruence (106) donne, pour [j, les valeurs 6/' et ij\ En même temps, la congruence conjuguée donne les valeurs 8/- et '-r. Prenant /• égal à un des non-résidus, on reproduit par l'ensemble — /•, 6/', 2r, 8/-, 7/' tous les résidus. Par conséquent, la fonction
(Il3) XXq-^ XiXc>^-r- X-iX^— X'.X^-r- X-^X^Q-t- X^X-i
