CHAPITRE II

Arguments purement imaginaires. — La période jw'. — Arguments complexes. — Dérivée. — Relation entre ,p?< et p'ti. — Addition des arguments. — Homogénéité. — Double périodicité. — Addition des demi-périodes. — Infinis de la fonction pu. — Diverses valeurs de u pour une même valeur de pu. — La fonction pu passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires. — Sur les signes de

p' u ou de '— ;- quand pu est réel. — Dégénérescence de pu. — Les fonctions

snu, cnu. dnu, d'arguments imaginaires. — Addition des demi-périodes. — Zéros et infinis de snu, cnu, dnu. — Di\ erses valeurs de l'argument pour une même valeur de la fonction snu. ou cnu, <>u dnu. — Les six modules conjugués. — Quarts de périodes. — Définition directe de pu. — Nouvelle démonstration du théorème d'addition. — Sur la liaison entre les invariants et le module. — Variation des périodes avec les invariants; rapport des périodes. — Cas où g, est nul. — Expressions asymptotiques des périodes quand le discriminant devient nul.

Arguments purement imaginaires.

Jusqu'à présent, rargument a a été considéré uniquemenl comme une variable réelle, et les fonctions elliptiques n'onl d'existence que pour cette supposition. La formule d'homogénéité de ));/, suoo-ère tout natiirellemenl l'idée de généraliser et en oflVc le moven.

Ecrivons (') cette formule (I, ga) en y mettant k \^ |j. au lieu de u et intervertissant les deux membres ; ce sera

Chacun des deux membres a une signification qui nous estcon-

(') (Uiarul nous renverrons à une éi|iiiitinn liiin autre Cliapitre. nous in(li(|iicrons, comme ici, le Cliapitre et le numéro de l'équation. Ain?i le renvoi artud (I, 22) signifie : Chapitre I, équation {ri).

nue déjà, tant que, g^ et ^3 étant réels et satisfaisant à la condition

•X est une quantité positive. ElTectlvement, au premier membre,

1/ \ [JL est réel, et, au second membre, g'i}*-'^ o sl^' sont réels et satisfont à la condition

Mais, a restant réel, cette dernière condition est encore satisfaite, si a est une quantité négative, en sorte que le second membre de (i) conserve une signification connue, pourvu que la condition (2) ait toujours lieu. Quant au premier membre, la fonction p s'v présente avec un argument paremejit imaginaire. C'est une fonction nouvelle, non définie encore. Nous prenons donc pour définition de la fonction elliptique p avec un argument purement imaginaire en faisant 'j. ^ — i , /== y — i ].

(î) p('«;^2,^3) = — v{u\gi, —g3)-

Il est donc bien entendu que p{iu] g-^i g-.i) est, par définition, une fonction réelle de l'argument réel ^/; c'est un autre nom qu'on donne à — p{u', ©'25 — gi)- ^^^ suite de celte convention, on devra écrire

(5) ip'(iu;ff.2,g3) = — p'(u] ^2, — ffs);

d'où résulte

p'2(j,<;^,, 0-3) 4p3(j„;^,, 0.3) -f- ^,p(m; 0-2,-3) -^^3 = — P'n«;ô2, — ^3)-^4pH«;^2, — ,^3) — .^2P(i/;^-2,— .^3) — ( — ^3) = 0.

Ainsi la fonction j), avec l'argument purement imaginaire /«, satisfait, comme avec l'argument réel, à la formule

P''-= \P^ — §--2P — gz-

Elle satisfait aussi à la formule d'addition (I, 23). La démonstration se fait de même. Sans qu'il soit besoin de rien écrire, on voit que le changement de u en iu, de r en à' entraîne : i" le changement de signe de p; ?.° le changement de signe de gi] 3" la multiplication de p' par /. Or ces changements ont pour résultat de changer les signes de tous les termes au numérateur du second membre, sans altérer le dénominateur, et de changer

aussi le signe du premier membre. Par suite, d'après (4), la lormule subsiste si l'on y suppose u et v purement imaginaires. On aperçoit encore l'exactitude de la formule d'addition dune manière bien simple dans l'égalité (T, 24)- La supposition que u et v sont purement imaginaires a pour effet de remplacer chaque p par

— p et chaque jd' par i'p'. En conséquence, la relation

n'est pas troublée.

On voit aussi par les relations (4) et (5) que p et p' conservent, pour les arguments purement imaginaires, la propriété d'être, la première une fonction paire, la seconde une fonction impaire, et de devenir infinies quand l'argument est nul. Quant à la périodicité, elle existe encore, mais la période est changée. Désignons la nouvelle période par ato'. Ce sera une quantité purement ima-

to' , ,

:;inaire et -^ sera réel.

La période aw'.

Il est aisé de reconnaître ce qu'est cette période. Rappelons-nous les relations suivantes :

6,62-;- ^263-^ <?3ei= — f^2, ^lÉ'-2e3= î^3, A."- — ) A" - = •

e^ — Ci ei—es

On voit, par les deux premières, que le changement de ^-3 en

— gi a pour effet de changer les signes des trois racines e. Comme on doit les ranger par ordre de grandeur, on doit remplacer d par

— e-i, 6-2 par — e-i, e-^ par — Ci . Parla A- et A'- s'échangent entre eux. Donc la fonction p, avec les invariants ^o et — g^, est définie par la fonction sn, au module A', comme la fonction p[u', g^^ gi) par sn(«, A). Piemarquons, en outre, que le multiplicateur )v,

n'est pas altéré. Si donc K' est l'analogue de K, mais pour le module A', on aura

- OJ

Nous avons vu la signification de e, , traduite (p. 26) par la relation Changeant ^3 en — g 3, on a donc

De là, d'après la définition (4), nous concluons

Arguments complexes. — Définition de p(«-4-ta).

Connaissant la fonction p pour les arguments réels et pour les arguments purement imaginaires, nous la définirons, pour un argument imaginaire quelconque, parla formule d'addition.

Donc, par définition, pour le cas u = a -\- irt., a et a étant réels, nous aurons

lipa p?a — 1^2) (,P« — P «a ) — ,^.i — p'a p' ta

2(pa — pta)-

Dérivée.

Pour un instant, remettons, dans le second membre, une variable réelle «', au lieu de «a, et soit ainsi

2(pap«'--J-ir2)(p«+P«')— .^3 — p'«-p'«' •^ ^ ' 2(pa — pa)^

Comme /(«, «') n'est autre que p{a + «'), les dérivées partielles de/ par rapport à a ou par rapport à a' sont égales entre elles ; c'est p' {a + a'). Cette égalité

()a da' n'a pas lieu identiquement, mais en vertu de la seule relation

satisfaite par p'a^ pa, aussi bien que par p'a', pa'. La même égalité a donc lieu encore si l'on attribue aux symboles j), p' des significations quelconques, j)0urvu que la même relation soit véri-

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGrNAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 35

fiée entre p' cl p. Or, on vient de le reconnaître, il en est aiiîsi quand on suppose a' purement imaginaire. Donc, d'après la définilion ((3), on a

dpit àpit ^^ p 't dp II

Oa (^[i'^) d[a -:- iy.) du

Ainsi p?/, qui se présentait sous la forme d'une fonction de deu\ variables a et a, est légitimement considérée comme une fonction de la seule variable a + /a, et possède une dérivée bien déterminée. Celte dérivée, qui se réduit bien à p' a ou p' It. quand a ou a sont nuls, sera désignée encore par p' il.

11 importe de démontrer que la fonction pu, ainsi entendue, a les propriétés déjà reconnues pour les cas où u est réel ou bien purement imaginaire.

Relation entre pu et pu.

Quand u est imaginaire, on a, comme dans les autres cas,

( 7 ) ,1''- " = 4 .1 •■* i' — gi P i' — A'3 •

Effectivement l'égalité

a lieu, quand a et «'sont réels. Elle a lieu, non pas identiquement, mais en vertu de cette même égalité, supposée vraie ])Our jjr/ et pour pa' . Donc, par le même raisonnement que tout à 1 heure, on voit qu'elle a lieu pour a' purement imaginaire; c'est ce qu'il (allait prouver.

Addition des arguments.

Quand u et r sont imaginaires, la l'ormule d'addition est exacte. Nous allons l'établir.

Considérons quatre arguments a, a , h. U , et posons

u ^= a — a', Ui^= a -^ ù, V == b-^ b' . Vi = ci -^ b'.

Envisageons la fonction

36 PRE.MlÈun PARTIE. — THÉOUIE.

Si rt, ^, «', ^' sont réels, /(«, v)elf{iii, r,) exprimenl tous deux

et U se réduit ii l'unité. Pour faire apparaître cette valeur de L, il faudra exprimer jd?/, j/w, pt^, p'r au numérateur et p^/i, p'^^, pi',, p'ti au dénominateur par les fonctions des arguments a, «', /;, ^' ; puis, par la relation (7), réduire les deux termes à ne contenir les p' qu'au premier degré. Nécessairement alors les deux termes de U deviendront identiques.

Voici donc les conditions analvtiques sous lesquelles Use réduit à l'unité : 1° les svmboles j) et p', avec les quatre arguments u^ f, //,, r,, s'expriment par les mêmes symboles avec les arguments «, ft', h, b\ conformément aux formules d'addition; 1" ces derniers satisfont à la relation (- ).

Supposons maintenant, dans U, a'=^ iv., 6'= ? 3, a et 3 étant réels. La seconde condition est satisfaite. Quant à la première en ce qui concerne les arguments u et v', elle est satisfaite par définition ; en ce qui concerne «1 et p,, dont le premier est réel, le second purement imaginaire, elle est satisfaite aussi, comme on l'a démontré. Donc, dans ce cas aussi, U = i . D'ailleurs/ (?^), (•()est la définition de j)(rt-f- icf. -\- b ^ i[j) ; fin, r) est le second membre de la formule d'addition avec les arguments «H- /a, b -+- i'^- Donc la formule d'addition a lieu pour des arguments imaginaires quelconques.

Homogénéité.

Les relations d'homogénéité ont lieu pour un argument imaginaire quelconque. Cela est évident à cause de Ihoniogénéité de la formule d'addition.

En particulier, les relations (4) et (5) ont lieu dans tous les cas.

Double périodicité.

La formule d'addition avant lieu avec un argument imaginaire (pielconque, il est clair que les cas particuliers suivants ont lieu aussi

p ( M -^ 2 10 ) = pu, p(u -^ Iti)') ^ pu.

Donc pu est doublement périodique. De même p' u et toutes les dérivées de pu admettent les deux périodes 2w, aco'.

CHAP. II. — ARGLMENTS IMAGIXAIliES. — DOUBLE PÉIUODICnf:. 3"

Addition des demi-périodes.

On a déjà vu que, les trois racines (?i, e^-, e-j étant rangées dans l'ordre décroissant, les deux extrêmes sont les valeurs de p pour les demi-périodes w et co':

D'après la relation

p"-u = ^(pu — ei){pir —e.Jipu — es), on a

p'oj = o, ,]>' w' = o.

Cette circonstance simplifie l'expression de p(u + r) quand ou suppose ç = ix) ou ^■z=Lo'. Soient r = oj, j3r=e|. Nous aurons

p ( « -I- co) = — ( p ?/ -f- ei ) — 7

■(pu-^ei)-h

4 {p" — <^i)- (pu —e2)(pif — €3) p II — ei

(pu — eo)(vT/ — e^^ (ci — ei)(ei — g;, )

= p » -f- ei — ei—e.i- ■ • ■

pu —ei pu — t'i

(Ci — fo )( ei— r■^ )

-pu -\- iCi^

pu— Cl

La formule se réduit ainsi à

Elle pouvait se déduire des formules donnant sn(?/4-K) cl en (// + K), établies au début (I, 8).

La symétrie parfaite qui existe entre les deux racines C), e-^ montre qu'on a de même

( S rt ) p{u ^ (M ) — e^=

Si dans ((S) on suppose pii=^ Cn ou, dans (8«), j)?/ = C|, on trouve

égalité qui montre la signification de la troisième racine e>- l^>r le même calcul que pour p(;/ + oj), on obtient aussi

' " ^ ' ' pu — Ci

Il y a, comme on voit, trois demi-périodes lo, oj' etco"= co + to', répondant aux trois racines e^, <?o, e^. Pour chacune d'elles, la (onction p' devient nulle.

Infinis de la fonction pu.

Comme •snu est nul, j)?^ est infini pour « = o. D'ailleurs la dérivée de sni/^ qui est cn?/dn?^ se réduit alors à lunité. Donc

a pour limite 1 unité. Donc ii-pii a pour limite lunite quand

u converge vers zéro par des valeurs réelles. Il en est de même quand il converge vers zéro par des valeurs imaginaires quelconques. On le déduit facilement de la définition (6) ; on peut aussi le prouver par un calcul qui se trouvera plus loin (p, 'j-). A cause de la double périodicité, on voit que pu devient infini pour

a = 1 ni oj -f- '2 m' co',

m elm' étant des entiers quelconques, et que l'on a

lim ( zt — 2 ni oj — a m' w' )-pii = i.

11 importe de s'assurerque pu ne devient pas infini pour d'autres valeurs de ii.

Quand II prend seulement des valeurs réelles, pu n'a pas d'auti'c infini que les valeurs u = awico; et, quand u prend des valeurs purement imaginaires, les seuls infinis sont ^m'oi'.

Soient a et a réels. Comme pa varie de (?i à -h ce , il est toujours positif; comme piy. varie de + ^3 à — x , il est toujours négatif. Donc pa — piv. est la somme de deux quantités positives, dont aucune n'est nulle; cette quantité n'est donc jamais nulle. Donc, d'après (6), p(a -{- iy.) ne peut devenir infini que si le numérateur de (6) est infini; mais, si l'une seulement des deux quantités pa ou pia est infinie, p(a -+- t'a) n'est pas infini. Dans l'un ou l'autre cas, on obtient j3(ia + 2mto) ou j3(a -f- am'to'), c'est-à-dire p ta ou j3«. Il faut donc, pour que jd(«-|- î'a) soit infini, que pa et piy. soient tous deux infinis et qu'ainsi l'on ait

if = iniui -^ 2 ni M.

Comme p' u est lié à pu par la relation

P '2 U = 4 J13 U — ffi p U — g 3,

p' u ne devient inlini (pi'avec pu.

CIIAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. Sg

Diverses valeurs de u pour une même valeur de j)u.

La double propriété que possède pu dèlre paire et doublement périodique montre que l'équation

V " = ,P ^, où l'inconnue est ii, admet les solutions

où m et m' sont des entiers quelconques. Elle n'a pas d'autre solution.

En effet, prenons la formule d'addition et cbangeons-y v en — v,

I /p'ii — p'^V

4 \P"- — pv/

4\Pli — P^/

En retranchant membre à membre, nous obtenons

p{u—v) — p(u-hi')-

{pu — pv)^

Si donc l'équation proposée est satisfaite, le second membre de cette dernière est infini; donc p{u — r) ou p(u-{-v) sont infinis. Donc on n'a pas d'autre solution que celles qu'on a remarquées d'abord.

La fonction p u passe par toutes les valeurs réelles ou imaginaires.

Soit d'abord a un argument réel et variable. On sait que pa passe par toutes les valeurs réelles depuis ej jusqu'à -^ co .

Soit aussi «a un argument purement imaginaire. On sait que pi'oi passe par toutes les valeurs réelles (négatives) depuis e-i jusqu'à — oo .

Rappelons-nous aussi que l'on a

ei> e2> €3.

En mettant a au lieu de u dans (Sa) et écrivant

[p(rt-l- co') — esKpa — 63)= (^2 — eaXei— 63),

4o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

on voit que p{o -{- w') est réel et décroît de 6-2 à e^ quand pa croît de e( à + co . Donc, pour les arguments imaginaires de la forme a-\-<ji', la fonction p est réelle et passe par toutes les valeurs comprises entre e-^ et e^.

En mettant {y. au lieu de u dans (8), on a

[^1 — p(ta + oj )](?! — jii'a) = (ei — e2)(ei — es).

De là résulte que, piy. variant de <?;) à — ce , p{iy- -+- w) est réel et varie de eo à C). Ainsi, pour les arguments lo + iy., la fonction p est réelle et acquiert toutes les valeurs comprises entre eo et Cj. D'autre part, on a

p'- = 4(]' — ei)(j^ — ^2)(r — es),

et cette relation fait voir que p' est réel quand j3 est supérieur à e, ou compris entre Co et 63, purement imaginaire quand p est inférieur à 63 ou compris entre e^ et eo.

Les divers arguments qui correspondent à une valeur donnée pi\ pour la fonction p, sont tous compris dans les deux formes

r -i- 2 m w -h 2 /)i'oj\ — V -\- 2 m oj -i- 2 /?i'co';

p' est une fonction impaire. Si donc on donne à la fois p et p', l'argument est entièrement déterminé, à des multiples près des périodes. Donc :

1° pu et p'u étant donnés, tous deux réels, il y correspond (à des multiples près des périodes) un seul argument qui est ou bien réel ou la somme d'une quantité réelle et de la demi-période to';

2° pu et p'u étant donnés, le premier réel, le second purement imaginaire, il y correspond (à des multiples près des périodes) un seul argument, qui est ou bien purement imaginaire ou la somme d'une quantité purement imaginaire et de la demi-période w.

Démontrons maintenant le théorème fondamental :

Il existe un argument u et un seul (à des multiples près des périodes) pour lequel pu et p'u soient respectivement égaux à des quantités imaginaires données, vérifiant la relation

jy2 = 4jy'— -ojD— 0-3.

Il s'agit de trouver les deux parties a et iy. dont la somme compose u. Pour conserver la symétrie dans l'écriture, mettons b au lieu de «a; il est entendu que a est réel, b purement imaginaire.

CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGIXAIIiES. — DOUBLE PÉRIODICUIÉ. 4I

Employons le théorème craddition (I, 20) qui fournit les deux équations

p'( a -^ b^ -I- p'a p'(n -^ b) -^ p'b ^ ^ P{a-^b)-pa ^ p(a-^b)-pb " ''

(10) p(a-\- b)-hpa-i-pb = \'z-■ So'^enl donnés

pu = p(«-L- b) = A — iB, p'u = p'(« -^ 6 j = A'— i'B'.

Il s'agit de trouver pa et p'a, tous deux réels; jdA et p'b, le premier réel, le second purement imaginaire. Prenons pour inconnue le rapport commun z ^ x -\- ij'. En séparant le réel et l'imaginaire, nous tirons des deux rapports (9) les quatre équations

(11) A'-{-p'a=Xx — By—xpa, B' -^ - p'b = \j — Bx —ypb;

(12) B' = Aj-{-Bx — y pet, A'=Ax — B}- — xpb.

Tirons pa et pb des deux dernières (i 2) et substituons dans(io), après y avoir mis (x + iv) au lieu de q, puis séparons les parties réelles et les parties imaginaires. Nous aurons ainsi deux équations entre les inconnues ^, j'. Les voici :

.'{ Arj»- ^ (B — { xy) (a;2 — j2 ) — B'x — A'j- = o,

crj{B — lxy) = o.

Rejetons la solution étrangère xj- = o; nous avons ainsi