XJ' = 2B
et, en éliminant!', nous parvenons à la résolvante
x* jT- x^-\- iiXx- — 4'^ -^ ^ — 4B2 = o.
Le terme indépendant de x ayant le signe — , celte équation a des racines réelles; prenons-en une, nous aurons pour )' la valeur
réelle — ^ > puis pa, pb seront donnés sous forme réelle parles
équations (12), ainsi que p'a et - p'^ par les équations (i i). D'après l'étude faite précédemment, pa et p'a étant réels, a sera
réel, ou réel plus lo'; rie même b sera ou purement imaginaire, ou bien purement imaginaire plus w. Que les uns ou les autres de ces cas aient lieu, on aura trouvé un argument u = a-{-b, elle théorème est prouvé, car il n'en peut exister qu'un seul.
A posteriori, on peut se rendre compte de la raison pour laquelle la résolvante est du quatrième degré et reconnaître que ses quatre racines sont réelles. Nous avons exprimé que pa, p6, p'a sont réels et p'b purement imaginaire. L'argument ii est unique (à des multiples près des périodes); soient u=zy.-\- /jB, a et ^ étant réels; le problème, tel que nous l'avons mis en équation, comporte les quatre solutions suivantes :
« = a -H w' — oj, 6 = ( ( jj —
A chacune de ces solutions correspond un couple différent de valeurs réelles pour x ely.
Sur les signes de j^'/t ou de —r- quand pu est réel.
On rencontre à chaque instant, dans les applications, des arguments u qui correspondent à des valeurs réelles de pu, et il est nécessaire de n'avoir pas à rechercher chaque fois le signe de p'u
ou de ^— r-- Les formules d'addition des demi-périodes permettent
aisément de trouver ces signes.
En premier lieu, pour un argument réel a, p'a est négatif quand (i est compris entre zéro et to, et change de signe chaque fois que «, en variant, passe par un multiple de w.
En second lieu, pour un argument purement imaginaire i'a, —r-
cst, de même, négatif quand a est compris entre zéro et -^j et
change de signe chaque fois que a, en variant, passe par un mul-
liple de -!-• ^ i
Ce sont là les conséquences immédiates des définitions; ce sont
aussi les réponses à la question quand pu est supérieur à e, pour le premier cas, inférieur à gg pour le second.
Soit maintenant u = [in -f- i)m' -^ a, a étant réel, en sorte que pu est compris entre e^ et e-2- On a
(^1— '?3)(e2— 63) , (ei — e-i)(e.i—ei) , pu — 63= -, pu — ^ — pa.
De là suit que p'u a le signe opposé à celui de p'a. Ainsi p'u est positif quand u — (2/1+ 1)0^' est réel et compris entre zéro et to.
Soit enfin u ^ (2 n -{- [) oi -\- iv., a étant réel, par suite pu entre <?., et e,. On a
ie^ — e,){ex — e3) i Ce, — e,)(ei— e,) p'i'a
pta — ex i (P^^ — ^i) ^
l'ar suite, '—^ est positii quand -. est reeJ, compris
10' entre zéro et -. •
Dégénérescence de pu.
On a vu, dans le Chapitre I, comment pu dégénère en fonction circulaire ou exponentielle suivant le signe de ^".j. Le changement de 0^3 en — ^3 n'altère pas le discriminant, qui devient nul quand la l'onction dégénère. Donc p[u-^ go, g-i) el p[u; g2^ — ^3) dégénèrent en même temps, mais l'un en fonction circulaire, l'autre en fonction exponentielle. La définition que nous avons adoptée pour p(a-i- iy.) entraîne ainsi avec elle une définition des fonctions circulaires et des fonctions exponentielles aux arguments imaginaires et un lien entre ces deux espèces de fonctions. Ces faits sont-ils conformes à ceux que l'on a précédemment introduits en Analvse et qui découlent de la formule d'Euler
C0SJ7 -4- i sin.r = e'-^?
On va reconnaître qu'il en est bien ainsi. Prenons les formules du Chapitre I, en supposant, par exemple, g3<io; nous aurons
gï 2 gi \e^ —
"i-gï 2 j^'2 sin'=t'
D'après la définition (4),
p{iu; ffî, é'3) = — pin; g2, — ffi),
nous aurons comme définition de e"', en substituant et supprimant le facteur commun,
!g-/V\2 i COS^c
g-"" / sin-t^ sin-t'
Extrayant la racine carrée, nous obtenons
e"* r= cos (' -H ï sin v, e-'" = cos r — i sin p.
En faisant la supposition opposée g-,) >> o ou bien changeant ici (" en ïv, nous aurons la définition de cosiv et siniV pour ç réel; puis, pour un argument complexe, les formules d'addition définissent de la manière la plus générale les fonctions circulaires et exponentielles, conformément, on le voit, à ce qui est d'usage.
Les fonctions snu, en;/, (ln?< d'arguments imaginaires.
La fonction snu a servi pour former p u quand l'argument était réel. Inversement, pu^ qui est maintenant connu pour les arguments imaginaires, va servir à définir snu d'une manière générale.
Rappelons les relations suivantes, trouvées au Chapitre I :
) — ^ /.2 ^2 — g^ ^.,2 ^ ei — e.
ei—e^ e^ — e-i e,
d'oij résulte, par la définition (I, 20) de pu et les relations (I, 4, ^)) entre sn-^^, cn-«, dn-M,
en--— on- - r
l{pu — e3)= '—, lipu — ei)= —, l(pu~e.2)= ^•
sn2-/r- sn2— sn2 —
lui conséquence, nous avons
mu ^ 4/
V pv —
I /PI — \ cnu = i /
es
(I nu = i /
\IV Ci
ez
11 n'y a aucun obstacle à supposer, dans ces relations (i4)i que v soit imaginaire, et nous aurons ainsi la définition de sn;/, en//, dn// pour un argument imaginaire cjuelconque. Cependant une difficulté subsiste à l'égard du siçrne des radicaux. On trouvera, dans le Chapitre VI, par des moyens directs, la preuve que les trois radicaux \pv — e peuvent être remplacés par des fonctions dépourvues de toute ambiguïté. Ici, au contraire, nous allons faire disparaître Tambiguïté de snw, en//, dn// par ces fonctions ellesmêmes.
Pour abréger, emplovons la notation
P("; ^2, — .•?3) = pi^,
en sorte que, jd// se rapportant aux invariants o^o, g^^^ pu, surmonté d'un trait, se rapporte aux invariants go^ — n^- Rappelons-nous que, d'après (i3), ainsi qu'on Ta déjà observé précédemment, l'échange de ^-.^ eu — gi entraîne celui de A" et k' sans changer ).. Nous aurons donc, suivant les équations (i4)> en mettant les modules en évidence,
sn{u,k)=i/^ ^, sn(u,k')=i/-^ îl;
cn(u,k) = l//îï^^^, cn(//, A-')=i/-''~'^';
dn{u,k)=^i/^ ^' dniu,k')=i/^^
y pv — <'3 V p^
Dans les premières, mettons /'// au lieu de //, et rappelons-nous
46 PREMIÈRE PARTIK. — TIlÉOniE.
(|ue j3(/r)^ — jlt'l nous aurons
y —pv — e^ cn[u,k )
cn{ii(, k)=^i/ = =r — ; ^,
/pv^d , àn{u,k')
An{iu,k)=i/ - == — H"/' •
Les trois fonctions d argument iu doivent, pour la continuité, satisfaire, comme avec largument réel, aux conditions
sn u .
=1, cnii = i. dni( = i, pour f/ = o.
On voit que ces conditions exigent qu'on prenne les sig^nes H-.
Nous écrirons donc
,. ,, .snCî^A-')
sn( lu.k) = i — vy- j
cn(u, k )
(i5) ' cn{ii(, k)
d n ( iu , A" I =
cn(u, k' ) dn( u, k') cn{u, k')
Ce seront là les définitions des trois fonctions pour un argument purement imaginaire; puis les formules d'addition serviront à définir les trois fonctions pour un argument complexe. Ainsi, de même que pu, les trois fonctions sn«, cnii, dnii sont connues sans aucune ambiguïté pour un argument imaginaire quelconque.
Comme corollaire, nous concluons que les trois radicaux \/pii — e sont dépourvus d'ambiguïté :
Vpt' — «3 = ,„.. — '
en u
(i6) ' \^pv — ei = \/ei—es ^^
fin "
CHAP. II. — ARGLMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉKIODICITÉ. '-\~
Addition des demi-périodes.
Pour sn, en, dn, les périodes sont 2R, 2/K'. On sait par les définitions du début (p. 5) que l'on a
sn(«<-7-2K)= — sn», cn(»^-2K)= — c.nu, dn(i/ -h 2 K ) = dn ».
Parles relations (i5), on aura aussi
sn(i/ -t- 2iK') = sn«, cn(«/ -f- at'K') = — en», tln(j/ -7- 2«K' ) = — dn».
Poor l'addition des demi-périodes, on a trouvé au début, en ce qui concerne K (1, 8, 8<7, 8^),
en »
sn ( » — K ) — -, ,
^ an u
sn »
dn u
(17) , cn(» — K) = — A'
dn( » -i- K) = , ^ dn u
On en déduit, par l'intermédiaire des relations (i5).,
sn(»-f-iK') = -, 5
Asn»
dn »
cn( » -l- iK' ) = dn(» -t- iK') =
ikèïi u en »
; sn u
En combinant enfin les équations (i-) et (18), on obtieni
. , dn»
sn ( » -+- K -^ j K ) = -} ,
A- en»
( ( g ) < en ( » -T- K -f- i K' '
d n ( » -T- k -!- i K' ) = ik'
ik en»
sn »
en»
Zéros et infinis de sn», en»,dnM.
Des relations (i4) résulte que les trois fonctions sont infinies quand p[u^/').) est égal à<?3; ainsi les infinis de sn u, en u, dn u sont
i\\ — '2 m K -^ lin i K'.
48 PREMlÈltE PARTIE. — THÉORIE.
Les zéros de sn u correspondent aux infinis de jd , u y).) ; donc
sn(2mK -f- lin' iK') = o.
Les zéros de cn« correspondent à p{u ^/).) = e, ; donc
cn(K -T- 2/nK — im' iK') = o.
Les zéros de dnu correspondent à p(« ^), ) =eo; donc dn(K -T- t'K'-i- 'i/nK-T- un' iK') = o.
Diverses valeurs de l'argument pour une même valeur de la fonction iwu, ou cnu, ou dnu.
Soit à résoudre par rapport à linconnue v l'équation
sn u — snv.
On en déduit
donc
V y/À ^ziz u v/A -^ 2 m oj -^ 2 m' w', c'est-à-dire,
Mais, parmi les formes de v comprises dans cette égalité, deux donnent sn r = — sn u ; ce sont les suivantes :
V =^ — u -r- \n K-i- 2 in iK' .
Les deux autres donnent bien sn(' = + snw. Ce sont les seules solutions du problème. Ainsi l'équation snt^ = sn;/ admet., pour solution générale,
i a-^ \niK-^i m' i K'
\ — « -i- ( 4 "i -^ 2 ) K -f- 2 m' iK' .
De même V équation en r 1= en u admet, pour solution générale,
V = -zz u -^ "i^im -~ n)K -^ i{ im' -^ n)iK' ,
et dnP3= dn;^ admet., pour solution générale,
V = ± u -h imK -^ :\ m' iK'.
Enfin il a été prouvé que pu passe par toutes les valeurs imaginaires. Donc aussi snu, en a, dnw passent par toutes les valeurs imaginaires.
Les six modules conjugués.
Dans J3«, les trois quantités Ci, Co, C;i jouent un rôle entièrement symétrique. Il est donc naturel de les permuter entre elles ; comme elles jouent un rôle dissymétrique pour la définition de sn, en, dn, on aura par(i4) la définition de ces fonctions pour divers modules, au nombre de six, qu'on pourra appeler modules conjugués. Deux seulement, A" et A', sont compris entre zéro et l'unité positive. Les carrés des quatre autres sont réels, mais ou négatifs ou supérieurs à l'unité.
La liaison entre les fonctions à modules conjugués se déduit immédiatement de(i4). Par exemple, si l'on permute Ci et Co? le nouveau module esii/ - — —^ c'est-à-dire tî le nouveau multiplicaleur est ? c est-a-dire -7-; : on a donc
Les formules (i5) ont déjà exprimé la liaison entre les fonctions à module k' et celles à module /.-. En combinant les dernières avec (»5), on a les quatre autres groupes de relations analogues; mais il n'y a aucune utilité à les rapporter ici. Ces formules n'ont qu'un intérêt historique.
Quarts de périodes.
On a trouvé au début (p. 6) K
2 " t/r-TA-'
.Tenant compte des expressions (i3),
/.'=.» /li^^S 1^-L
5o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
on en déduit
I p'- = — 2(61—^3) /ei— e, — 9(ei — e,)/ei— ^3-
On aura semblablement, par le changement de 6), eo; ^3 en — et,
Oj' /
J' — ■ = — ^3-^ V/(^2— <Î3)(ei— 63),
j".' — . = — 2{ei— e^) \/e2— 63— 1(62— €3) /ej — 63 ;
et, puisque
JJ-. =—pu, p -. = -.pw,
il en résulte
I P Y "^ f'3— /(e2— e3)(ei — £-3),
I p' — =~ ■ii{ei—e3)}/e.2—e3 — ■i.i{e.2— 63) y/ej —
Dans ces formules ( 20) et (21), les radicaux, qui sont tous réels, sont, bien entendu, pris positivement.
Par suite de la symétrie, on peut affirmer d'avance que les diverses expressions analogues où les e seront permutés et les signes des radicaux changés, correspondront de même à d'autres quarts de période.
Les quarts de période sont (à des multiples près des périodes)
les divers ar2,uments 1 , ou m et m sont les nombres o,
1,2,3, sans être à la fois pairs tous deux. Il y a donc douze semblables arguments, dont chacun correspond à un second de telle sorte que la somme soit une période; on peut donc les réduire à six paires, en adjoignant à chacun l'argument égal et de signe con-
, • . • . , 10 1 • • 1 w , co' to' 1 r I
Iraire. Ainsi a - on adioindra — -: a — j parles lormules
Les formules (20) et (2 1) peuvent donc être envisagées comme se
rapportant à quatre arguments = — j zt — • Il reste à trouver quatre
CHAP. II. — ARGUMENTS IMAGINAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. 5l
lormules analogues. C'est ce que nous allons faire au moyen du théorème d'addition. Mais d'abord, par l'addition des demipériodes, nous pouvons vérifier la forme commune aux expressions de J3 et jd' pour tous ces arguments.
Soient a, p, y les nombres i, 2, 3 dans un ordre quelconque; posons
i*^ Si l'on prend
pu = e^— ibc,
a est un quart de période. Soit effectivement co^ la demi-période (pii correspond à e^, c'est-à-dire e-j, = jdw^. Nous avons (8)
P(« — Wa)— e'a= ' '- = rj— = ibc.
pu — e^ ibc
p{u — M.j) = pu.
Donc la somme ou la différence des deux arguments [u — oj^^), //, est une période. Ce ne peut être la différence; donc
lu — Wjj = iiniji — 1 m' oj',
jf = — — niui — m ^^y .
C'est ce qu'il fallait prouver.
2° Cherchons l'expression de p'ii. ?sous avons
pu — e-j^=ibc, pu — 61^= c-^ ibc, pu — ey = — b-—ibc,
,1''-" = 4(P" — e'x)(p?i— e'^){pu — e^..)=—\b'^c'-{c-^ iby-,
p'u = =h 2 ibc{c -^ ib).
En remettant, dans ces formules, pour b, c, leurs expressions, nous voyons que les quarts de période sont caractérisés par les formules suivantes :
,p' -^ = '^ s/e-j.— er^ /c'a— e,. [y/fa— eo, -r- \/e^—e-.].
Dans ces formules, chaque radical est pris partout de la même manière. En variant les déterminations des deux radicaux, on obtient quatre couples de formules, quatre arguments différents :
ce sont les arguments dont les doubles reproduisent la demi-période ct»a, à des périodes près, par conséquent
to, — -f- oj , — -H eu -^- co
11 nous faut maintenant, parmi ces quatre arguments, chercher auquel se rapporte chacune des quatre déterminations de j) et p'. C'est ce que nous allons faire pour chacun des trois cas a=^ i, a = 3 , a = 2 .
Au cas a= I, nous avons déjà les formules (20). La seconde paire de formules sera
pu = Cl — /^i — e-2 s/e^ — e-ii p'« = 2(^1 — ^3)/^! — eo —2(^1 — e-o) s/e^ — e-i,
et il s'agit de savoir si u est égal à - -h co' ou bien à — ( -'- + to' j . Or
nous avons vu, dans ce Chapitre, qu'à un argument (w'-+- «), où (i est compris entre zéro et to, répond une valeur positive de p'. L'expression écrite ici pour y' u représente une quantité positive,
les deux radicaux étant pris positivement; donc i(= - — h w'-
Pour y. = 3, nous avons déjà les formules (21). La seconde paire de formules sera
J)(' = es-f- y/ei— <?3 s/e-i—e-i, pV = ^i(^e^ — e^)\Je.i—ez — lii^e^ — e^) \J e^— e^\
V est égal à l'un ou l'autre des arguments :2z {- — r- w j. Kous avons
^u que —r- est positii quand — -. — est compris entre zéro et — ;
donc ici V = r ^L>.
Il nous reste à examiner le groupe de formules ri'pondant à 7.^2. C'est pour ce but que nous allons appliquer le théorème général d'addition (I, 20).
Soient deux arguments ;/, r, moitié chacun d'une demi-période
diflerente,
pu ^ey,-^ibc, pc=<?^ + jca;
pu = iibc{c -\- ib), p\' = ■iica{a -+- ic).
r ornions d abord le rapport ■ = c.
p' u — p'v — 2 iciybc -r- ib- — a- — ica).
On a identiquement
(i -T- i) {bc -f- ib- — a- — ica) = ( a -{- ft -i- c) [c -f- i{b — a)\ — (a'^-f- b--\- c-), et, comme («-+ b--\- c-) est ici nul,
