il n c
entièrement symétriques, et traduisant la relation
(il) a -)- i — r = 2 «? K.
Elles sont démontrées jusqu'à présent avec une rcslrirtii)n sur a et b. Mais d'abord, si Ton change a, 6, c en — a, — />, — c
et m en — m, les deux membres de chaque formule (lo) restent inaltérés, et la condition (i i) est toujours satisfaite ; donc les formules subsistent si a et b sont compris entre — K et K. Si l'on change a en a + 2«R, b en 6 + 2/i'K, n et n' étant entiers, et qu'on change aussi m en (m — n — /?'), les deux membres de chaque formule (lo)et(ij) restent inaltérés. Donc les forimiles (lo) sont démontrées en toute généralité, quels que soient les cirguments a, b, c, vérifiant la relation (i i).
On peut déduire des formules (lo) une foule d'autres, parmi lesquelles il convient de remarquer celles qui sont résolues par rapport aux fonctions de l'un des trois arguments. On peut obtenir ces dernières en considérant les équations (lo) comme trois équations simultanées du premier degré en sn<7, cn«, dnaet les l'ésolvant. IMais on parvient plus rapidement au but en adjoignant aux équations (lo) d'autres qui s'en déduisent.
Pour abréger, écrivons simplement 5, c, cl au lieu de sna, cnrt, dn«, et employons les mêmes lettres affectées des indices i et 2 pour sn6, . . . , snr, .... Les deux identités
donnent celles-ci
sn^K -^ cn-K = I , k^ sn^if— - dn^M = I
di-^d-i k-(s.iCi — s^c-i)
Faisant, en outre, ( — i)"'+i ^n s, nous concluons de la première formule (10)
5 I — d SoCi-\- SxC, € di — 'do
i-hd /c^s " di— d-2 k^ S2C1 — Si Ci
d , 3-2 Cl — Si C-2
di-^d.2 ■ I -^ d ^ 12 ^i ^1 ~ S1C2
di — di et, en ajoutant ces dernières membre à membre,
2 ^, /52C,-+-.Ç,C2 , 5-2 Cl — 5, C,
S ' \ dt-r- dy d, — di
Piéduisant au même dénominateur et remplaçant f/^ — d', par
k-{s\ — 5^), on a
Si Cid-i — SyCidx
Divisant membre à membre les égalités (12), on obtient
\^- d (SyCi — il C-2 ) ( r/, -^ f/., ) I — d {s^Ci^- SiC-2){ di — d-x) et, par suite,
SiC.2d.2^ SiCidi
Des égalités (12), nous concluons aussi
zk^s{s2Ci-i- SiCî) = (j — d){di^- d-î), tk^s(s.2Ci — S1C2) = (i — d ){di— di),
et, en ajoutant membre à membre,
(i5) zk-ss2Ci = di — f/2 f/.
En changeant les indices, nous pouvons écrire encore £ /{- siSiC = d — di f/2 ; puis, substituant l'expression ( i4) de d,
r/| r.i.«i — doCiSf
SiCidi — S2C1 di
On écrit d'habitude les formules (i3), (i4) et (16) d'une manière un peu différente, en multi[jliant les deux termes de chaque fraction par .s, Cof/s -f- 5oCi r/, .
Par suite des relations
ij — Cf = l, 5| — C5=l,
/. - Sf — f/j = I , X:2 55 — f/î = I , on a
5j C| dl — Sr,C] dj = (si — Sr, )(l — /.-.9j 55),
(sidi C2 — S2d2Ci){siC2d2 -^ SoCidi) = («J — sl)(did2 — A-51S2C1C2),
{diC2S2 — d2CiSi){SiC2d2 — SiCidi) = {si sl){SiS2did2 — C1C2).
Au lieu de (i3), (i4) et («6), on peut donc écrire aussi
(i3bis) (i^bis) (lùbis)
Si Cidi — .SoCi c/i
1 — k-Si Sr,
d\ d-i — k- S\ Si Ci C2
i — k^slsl '
CfCi — Si Sodf d-j
1 — /c'-s'ls l
■ k'- sn2
sn^c
en
b cnc -
— sn6
snc dn
b dnc
- k- sn^
ib
sn^c
(In
b dnc
snc
en 6 enc
Pour avoir les formules d'addition, supposons nulle la somme (f ^ f) -i^ c, par suite z = — i; puis changeons a en — «, c'esti't-dire simplement s en — s, et nous obtiendrons
sn b en c dn c -f- sn c en 6 dn 6
' cn(6-f-c)= .„ ,,
' 1 — k' sn-« sn^c
(>e sont là les formules dont on fait usage d'habitude; mais les formules équivalentes (i3), (i4) et (i6) sont tout aussi bonnes.
Parmi les nombreuses combinaisons que l'on peut faire entre les formules ci-dessus, il convient de remarquer l'égalité (i5), à cause de sa simplicité,
dn a — dn 6 dn c = ( — i)"'+' k- sn 6 sn c sn a ;
elle a lieu sous la condition rtH-^ + c = 2/«K, ainsi que les deux autres qu'on en déduit par permutation des lettres a, b, c.
Si l'on y change Z^ en ^ -f- K., et c en c + K, m en [m ■ — i), et qu'on emploie les formules d'addition de la demi-période (8), (8rt), (86), on en déduit cette autre, non moins remarquable,
dn a dn b dn c — k'- = ( — i )'" />."' en « en 6 en c ; ( a -)- 6 -i- c = 2 w K). Si, dans la même formule,
d — di d=> =: Z k- SiSyC,
on remplace clf d> par son expression tirée de (i4 bis^^ on obtient cette autre, tout aussi simple,
£C = A'i S-id — C] C2,
c'est-à-dire
( — 1)'" en a = en 6 enc ^ sn6 snc dna; (a -+- 6 -K c = 2mK), et, si l'on change 6 et c en Z> 4- K, c -h K, m en (m — i),
( — 1)'"+' sna dn6 dnc ^ k' snb snc — ^ en 6 cnc dna ;
il y en a d'autres encore, qu'il est inutile de rapporter. L'une quelconque de ces dernières, présentant, comme une quelconque des formules (10), le double caractère d'être du premier degré par
rapport auK fonctions d'un même argument, et de valoir, à cause de la symétrie, trois formules à la fois, peut servir à retrouver les j'ormules d'addition.
Toutes ces formules, intéressantes par elles-mêmes, seront utiles aux personnes désireuses de lire les anciens ouvrages, et notamment les OEuvres de Jacobi. Mais nous ne nous en servirons jamais, et, pour la seule élude de ce livre, il est inutile de chercher à les i-etenir. Il est aussi superflu d'examiner longuement les propriétés (|ue nous venons de reconnaître aux l'onctions sn//, en;/, dn//. (]es éléments vont désormais être relégués au second plan, et faire place à un élément nouveau, la fonction pu, introduite par M. Weierstrass. (Dans le langage, on prononce séparément les deux lettres /?, u).
La fonction pu. Sa définition déduite de celle de snu.
D'après les expressions (9) des dérivées, les trois fonctions elliptiques nous apparaissent comme ayant la propriété commune que le carré de leur dérivée est exprimable par un polynôme du (juatrième degré par rapp(^rt à la fonction. Ainsi
/ <r/ sn f \ 2 ^
( — ^ — 1 = cn-p dn-ti = I — (i -7- A.-) sn-p -f- A- sn + f.
(^es poKnùmes sont d'ailleurs bicarrés.
Par une transformation simple on peut en déduire d'autres fonctions, a^ant une propriété analogue : le carré de la dérivée est un polynôme du troisième degré par rapport à la fonction. Cette transformation consiste à poser, en désignant par a une constante et par z la nouvelle fonction,
On aura, en effet, d'après (4) et (G),
d sn^t» I r/z
sn i> en t» (In f =
ch d
dv {a-^zy- dv
r/sn^p
2 snp en p (In c,
dv ^ =4(^--«)(--^ «-!)(--«- /'■')•
Parmi ces fonctions z, il est naturel d'en choisir une, pour laquelle le polynôme du troisième degré présente une forme réduite. Choisissons donc la constante a de manière que le terme en zmanque dans ce polynôme (la somme des trois l'acines est alors nulle); ainsi
Mettons en évidence les trois racines, rangées par ordre de grandeur,
^1 > ^2 > ^3) El -j- £2 -!- Ss = O,
Ces trois racines, dont la somme est nulle, dépendent de la seule quantité k'-.
Pour faire en sorte qu'on puisse prendre deux racines arbitrairement, introduisons une nouvelle constante X, et posons
Ei = Xei, £2=Xe'2, Z3='ke3, z = lj, r = -^- Nous aurons alors
(18) (J^y'=iiy-ei)iy-e,)(y-e,).
Dans cette relation, <?,, e^, 63 sont trois quantités réelles, dont la somme est nulle :
ei>ei>e3, ej-i- eo-h es = o;
elles sont d'ailleurs arbitraires. La fonction y de la variable i/, ainsi déterminée, sera désignée par la notation pu. C'est elle qui, désormais, jouera le plus grand rôle. Actuellement, elle s'offre comme dépendant, non seulement de Vargiiment u, mais encore de deux constantes, suivant la formule, déduite des précédentes,
(19) y=^-pu= ,,
A S'il- -—
Voulant la considérer comme dépendant de l'argument u et des
constantes 6), Co, <?3, nous n'avons qu'à exprimer /,- et A par ces dernières. C'est ce qui se fait ainsi
) ^1 ~ -3 ' ^ ,., ^2 — ^3 e-2 — g3 . ei — 63 Cl— Ci ' £1—^3 e, — ea'
à quoi l'on peut joindre
Invariants go, g^. — Discriminant A,
Aussi bien que par ses trois racines, le polynôme (i8) est caractérisé par ses coefficients, que nous désignerons par g<, et ^3,
('« «) y-f^^j =47'— ^2j — ^3=4(r-e,)0' — 62)0' — es),
Cl— Ci — 63 = o,
6162 — ^2^3-^ e^ei = — \go, exeoCi = {^3, e\ — e\—e\= (<?i — e,— 63)2 — 2(6162— 6263—6361) = \go..
Ces deux constantes g.^^ g^ tiennent lieu de A- et A. On les appelle les invariants. Elles sont ici soumises aune condition d'inégalité pour que les trois racines soient réelles. Celte condition, comme on le sait, par les éléments d'Algèbre, consiste en ce que le discriminant A,
soit positif.
Les deux invariants g2, gz seront rappelés dans la notation quand il en sera besoin; on écrira alors j^(«; ^0,^-3) au lieu de pj^, de même qu'on écrit, quand cela est nécessaire, sn(u^/c) au lieu de snu.
Les racines 61, 62, 63.
Les trois racines e,, eo, 63, dont la somme est nulle, sont, comme il est entendu, supposées rangées par ordre de grandeur ^1 > ^2 > C;}, en sorte que c, est positif, e^ négatif. Quant à c^, cette i^acine est positive ou négative; elle a le signe opposé à celui de ^3, comme il résulte de la relation
26 PREMIÈRE PARTIE. — TOÉORIE.
Le signe de e^. est aussi celui de (A- — A'-); car on a
D'ailleurs A- — A'- = 2A-^ — i; donc Co est négatif, i;» 3 positif, (|uand A- est inférieur à ^; au conti^aire, e-y est positif, g^ négatif, (piand A- est supérieur à ^.
Va\ remplaçant ). par son expression dans (19), nous
avons
(20) pii = e3H .
sn2-—
Le dénominateur variant toujours entre zéro et l'unité, pu varie entre l'infini positif et ^i. Ainsi la seule racine <?) est une des valeurs que peut acquérir pu, et c'est le minimum de pu, qui prend successivement toutes les valeurs entre e^ et l'infini positif.
La période aco.
La fonction pu est paire, comme le montre la définition (19); car, ayant sn ( — t^)= — snr, on en conclut p(^ — u) = pu. Elle a une période que nous désignerons par aco, et qui n'est autre que
3 K y/7v . Ainsi
(0 = K y/X = — j ei = ,p œ, ,p ( a /« w ± zi) = ]mi.
Dérivées de j^».
La dérivée de pu sera désignée par j)'//; c'est une fonction impaire, ayant aussi la période 2w
ji'(2mw ± u') = ± p'«.
Elle est liée à j);^, d'après (18) et (18 ci), par la relation
Les dérivées successives ont toutes la période 2(o; elles sont alternativement paires et impaires, et se calculent facilement par diffe-
CIIAP. I. — FONCTIONS ELLIPTIQLES A DISCniMI.NANT POSITIF.
Tentlation de (ai)
piv j^ — f2( p'u)--T- \7,pU p"u = [2(lOJ"l^?< — ^ ffî pu — .^3),
Dégénérescence de pu.
On a vu que les fondions elliptiques dégénèrent en fonctions circulaires ou en fonctions exponentielles quand A' converge vers zéro ou vers l'unité. Ces deux circonstances ont lieu, la première, (|uand e-2 va coïncider avec e-i', la seconde, quand e^ va coïncider avec e,. Dans l'un et l'autre cas, le discriminant A devient nul. Il ne peut d'ailleurs devenir nul autrement, puisque e\, e.i sont séparés par zéro, sauf le cas limite Ci= «?2= <?3= o qui sera examiné tout à l'heure.
Ainsi deux modes principaux de dégénérescence : dans le premier /.'^o, ^"3 est positif, e> coïncide avec Cj ; dans le second /,• = 1 , 1^:, est négatif, e-^ coïncide avec e(.
Dans le premier mode, on a
é?2 = e3 = — .|.e,, ,^2=3<;f, gz=e],
A = g'>, ^ "iy ffl ^ 0, X = -^-^ — - — , k = o, sn u = sin u, 9 d'à jei
in2 ni/
Dans le second mode, on a
As '^^ O, p II ■ — —
aaI'
Kn=
Enfin, troisième mode de dégénérescence^ si C|, e-j, C3 tendent ensemble vers zéro, il en est tout autant de g^ et «^3, et le rap-
port — est infiniment petit du même ordre que d- On a alors
f 1 = e. = ^3 = O, ^2 = .^3 = 0, w = ce , pu = ^-, .
Homogénéité .
Si, dans la relation (i g), on remplace u et A par -—^ et - ? |i. étant
une constante positive quelconque, et, en même temps, pu par \f-pif, cette relation reste inaltérée ; mais, en même temps, e,, e^, e^ sont remplacés par u.e,, jj-Co, [J-(?3. On a donc une relation d'homogénéité
p'(-j='' i^' ffi^ '^^ ffA = !-^/:^p'("; ^2.^3)-
Addition des arguments.
De la formule (i3) on déduit aisément celle qui convient à l'addition de l'argument pour la fonction pu. Ecrivons-la ainsi
I s-^ r?, rl'l — x-, c°\ d\ — '25] C] d^ s.^ c-, d^
de même
{s\-sl)^
C,dx C-yd-,
I dd-, I c-^d^ «i"i
Mettons de même j), p,, p^ pour les fonctions p des trois arguments. Nous concluons de l'égalité (ao), d'après (4) et (fi),
l = ),(p-e3), l=).(pi-e3), -^ =^^{p-2 — e3),
' ~^' =l{pi—ei), -| =. X(p2— ei),
I — iA-
HPi-e.), ^
= l{p2—ei),
CHAP. I. — FONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITIF. 2g
En substituant, on voit disparaître )., et Ton obtient
(pi — e3)(Pi — ei){p.2— e.2)-^(p2— e3)(pi— ei)(pi— e2) — \p\]û
(Pi — P2)-
P I P 5 — P -2 P'\— \ gi C P 1 — P 2 ) — -1 g 3 — 1 P ', P 2
Mettant les arguments en évidence, nous avons la formule cherchée
mais on peut l'écrire aussi sous une forme qui se fixe mieux dans la mémoire
(24) P(« l') = - I - I P " Pl"-
Mettons v ^ u^^ a-^ v =^ — u^-, et écrivons la formule ainsi
I /p'if— p'i/i\2
Cette relation a lieu entre trois arguments dont la somme est nulle.
Echangeons entre eux ii, u,, u-2 au second membre et concluons (pie les trois rapports
p'u — p'«i p'ui — p'nï p'"2 — P"
pU — pUi' pUi — pili' pui—pu
ne peuvent différer que par les signes; mais, si l'on avait
p'u PU[ p'î^I P'"2 L P'"2 P"
J) U — ,J) Kl ~ p Ml — p «2 ~~ p «2 — P « '
on déduirait, en combinant les deux premiers rapports,
p'u P'M2 , P'"2 — P'ff-
P U — 'J.p Ui — p «2 ~~ P Ul — P « ' p Ui —pU= — (p « — 2p «i -^ p M2 ),
relation évidemment impossible. Les trois rapports sont donc absolument égaux, ce qui, d'ailleurs, entraîne une seule équation ; car le troisième rapport a pour termes les sommes des termes des deux autres Ainsi la relation
u — Ui -^ U2= o
3o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
est Iradiiile par les égalités
p'ii — p'ui p'ii^ — p'uo p'ko — p'u
(25) } pu — pui pui — pui puî — pii
( pu -^pUl — p^l■l = -la-■
Ces fornuiles, extrêmement simples, sont celles dont l'iisaiic est le plus fi'écjiient.
\ oicl encore une autre forme intéressante :
'* ^ r ' 1 Ou \pl( —pi- / 1 OV \pU JM' /
p (il ^ V) = ; I •
" 'J. Ou Oi' ^^ p U — p V /
On retiendra encore mieux ces formules (20) en observant Tinterprctation suivante :
Soient r^f, b deux constantes données, et supposons qu'on cherclie à déterminer a par Téquation
On en tirera une équation du troisième degré en pu,
4 ,]v' u — ^'2 p " — t?'a = (« p II -^ b )-, avant trois solutions p ?/, piU. pn-i- Par l'équation pro|)osée, on aura trois quantités correspondantes p'u, ,p'//,, ])'//o sans aucune ambiguïté. De là résultent
a pu — b = p'u a pui — b =p'ui, « P U2— b = p'ui-
En éliminant b, on conclut l'égalité des trois rapports (^5) cl de la constante r/; puis, en prenant la somme des racines de l'équation (lu troisième degré, on obtient la seconde égalité (20). Ainsi l(( relation
u -^ Ul-^ Ui = o
est traduite encore par ce fait cjue u, w,, u^ sont solutions de
Céciuation
a p u -^ b = pu,
C est là un cas particulier d'un célèbre théorème dû à Abel, cl dont nous parlerons au CihapitrcAIl.
CHAP. II. — ARGLJIENTS IMAGINAIRES. — DOLBLE PÉRIODICITÉ. 3l
