CHAPITRE Vlir, — LES SÉRIES

ChaDgeant u en (w — u) dans (19), par conséquent ^ en(^ — v)^ et divisant membre à membre l'égalité obtenue et l'égalité (21), on a

ou, sous une autre forme,

e ^ ^^ 3'i?< = — [cosi^- -H ^'cosSi--- -f-. . .— (7«t«+>^ cos(2n -f-i)p--J-...].

La série 2?û. Expression de :fzu.

11 y a lieu de mettre sous une forme analogue j((l>'-!- a). En posant

d'où résulte

on voit que le changement de :; =: e'"" en q - z- revient au changement de V en (v — ^-z). On a donc

(2n-f-\,' 2nJ-l

On désigne par 37o(^') 'a nouvelle série

= I — 2q cos2(^7:-^2y* cos4i"~ — ...— ( — i)"iq"' cos^nvT.—....

La relation d'où nous venons de la conclure s'écrit donc

(27) ?jov = uj' e-'-^?Ji{v-y-)

ou bien, changeant f en — i", comme ."^o est paire et .:>i impaire,

(27 a) 3oi> =— ig'*e'~'''X!i{v — l').

En faisant u = oj' dans (19). par conséquent r = :7 t, nous avons

maintenant

D'ailleurs on

On peut donc écrire

= 2Wi

Changeant ensuite, dans (19), ?^ en (0)'+ i^), par conséquent r en V + -tT, puis divisant membre à membre avec (28), on a

s'a)' t S'oie) 27o(o)'

puis, en remplaçant, danse ^ , l'exposantpar — - ( r/co -\ — - ) ,

ITZ II

par conséquent l'exponentielle par e~'^i'" e '^"^ = e~V"e-«^'', (3o) e 2 co i ^ — ^ e-'i-^ " = e 2 w a'^u

» 2 " — ^ ■•' p~r,'ii = p. 2 w T-, 7/ = -^r^^- — -^ .

En faisant 11 = oj, par conséquent i' = ~j on a multipliant membre à membre avec (29) et observant l'égalité

nous en déduisons

(02) e 2 ^'(jj = 2we ♦ f;