CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

homogène: i° par rapport aux fondions F, circonstance qui fait disparaître le facteur e^; 2° par rapport aux carrés des arguments, dont la somme est 2(a- -\~ b- -{- c- -\- d-) pour chaque terme; circonstance qui fait disparaître le facteur e^^"'.

Si donc, en désignant par r, une constante encore indéterminée, nous définissons ■i u par la relation

é"^-~^ a'u =/(u) = o(^) = ■2iCq~'^F(u),

cette fonction du, dont nous n'avons pas encore prouvé l'identité avec celle qui nous est déjà connue, cette fonction «jw, outre les propriétés de périodicité, a encore celle de satisfaire à la relation (10).

Pour la rapprocher de la précédente fonction a*;/, choisissons la constante r, de manière que le développement, suivant les puissances ascendantes de 11, manque du second terme. A cet effet, il faudra prendre

ce qui détermine y, par une série convergente. Choisissons aussi la constante G de façon cjue la limite de ^ — soit l'unité poui- « = o ; par conséquent,

Cela étant, la fonction du ainsi définie a toutes les propriétés signalées comme caractéristiques au Chap. VI; on peut avec elle remonter à p;^. La légitimité du développement se trouve donc bien établie.

La série S'i. Expression de r,w et de :fu. La série qui vient de s'offrir sera employée sous la forme intro-

duile en dernier lieu : on multiplie tous ses termes par 2g*. On la désigne par la lettre ^ avec l'indice i ,

{i5) :3i(y) = 2q'* siin>~~2q'* s\n3vK-r-...-T-(— iy^2q * sin(2n-4-i)P7r-t-...

OU bien, en mettant les exponentielles au lieu des sinus et faisant (i6) z = e^^^,

on peut l'écrire aussi

et le signe sommatoire comprend tous les entiers positifs et négatifs n. En mettant

on a, pour r, la même signification que précédemment, et

I "0 II- 0- / ,

(lo) e^'»'j« = 2a) >.-; •

Sous la forme précédente, ceci est la même chose que

:^ 2w r . T.u , . 3-?i , ,, • (in -^\)~u ■2 "> 3^» = sin f/- sin h. ..-;-( — 1)"<7"^"+" sin ~ h

Ao = I— 3 ^2 : . . . ^ ( l)« ( 2;^ ^ , )^«(/î+l) . . . = L ^'^ (o).

iT.q* En outre, comme on l'a vu tout à l'heure,

En faisant ?^ ^= co, on a

(21) e 2 T oj = 2 to ^ , ' = — j

^ .tr; (o) t: Ao

Ai = i-+-<72-^...+ (7"(«+"...= -^2r, (I).

La série S'o. Expression de r'i ?<.

Il est d'usage de désigner par SoC^) la fonction .3?, (j — v); ainsi

I 1 9 (2n+li =

(22) I — iq''co?:V-->r-'i.q'*co?>ZvT.-^...-^'i.q * cos(2/i -i- 1)1^-. . . ,