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11 n'y a d'ailleurs d'essentiel à retenir que 2?, et 2?o, les deux autres s'en déduisant par le changement de v en (v -{-^).

Observations sur les séries S". Diverses notations usitées.

Les fonctions employées jusqu'ici pw, "Çii, jU dépendaient de trois quantités, u et les invariants, mais étaient homogènes; les fonctions antérieures snw, cnii, dnii dépendaient de deux quantités, l'argument et le module. Les séries S, elles aussi, dépendent de deux quantités. En premier lieu, on y voit figurer un argument V, ou une variable ^, suivant la forme trigonométrique ou en série de puissances qu'on emploie; en second lieu, une quantité ^, à laquelle se trouve liée une autre quantité t : il est plus ou moins commode, suivant les cas, de mettre en évidence t ou q. Dans les séries, c'est q qui apparaît, mais dans la théorie de la transformation, ce sera toujours 7, rapport de deux périodes.

On emploie la simple notation '^r^.v ou XJ^iv)^ avec ou sans parenthèses, quand on n'a pas besoin de mettre en évidence la seconde quantité q ou t. Dans le cas opposé, nous ferons usage de la notation 2?a(p, q) ou ^^«(pI':).

Voici un résumé de ces notations :

z = e'"^, q = e'-^; "^'xv = S-a(i', q) = S-^Cp ! t), a = I, 2, 3, o;

.rjf = 2S,„(— i/"^'^* sin(2;?i — i)-t^ =-!:„(— i)«^- z^"^

\ :j2V = il.„iq* cos{7.m — i)~v = I.„q* ^2«+i^

I ?J3V — i -^ il-mq'"- cosT.mTzi' = I.,iq"-z-^,

f ?JoV = i — -îl-mi —i)"'q"'' cosimr.v = Zn(—i)"q"'^^":

\ /?i = I, 2, 3, ...,-(- 00 , n = O, :i= I, ± 2, . . . , ± ce .

La première .'S', i* est une fonction impaire, comme -i u: les autres sont paires, comme les autres '^y.u. Les développements mettent en évidence la propriété suivante, qui appartient en commun à ces quatre fonctions et à toutes leurs dérivées (par rapport à c),

^^'^ 'd^ -~'^'-'d^lO'iq)--^'"^ 0-'

Cette propriété, que nous déduirons directement, au Chapitre IX, de la fonction d, y fournira un nouveau moyen de trouver les séries Xj.