CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Les notations adoptées ici sont conformes à celles qui sont employées par M. Weierstrass ('), Jacobi, dans ses Leçons (-), a fait usage de notations peu diilerentes : '^y.{x, q) au lieu de ce que nous désignerions ici par 3^ ( -' ^l ; en outre, l'indice zéro est

supprimé, Sq étant écrit simplement!^. Dans la Théorie des fonctions elliptiques de MM. Briot et Bouquet, est employée la notation ^■ji{z-), qui équivaut à ce que nous désignerions par "br^ (— — );

en outre, comme dans les Leçons de Jacobi, l'indice zéro est supprimé. Dans les Fundamenta nova theoriœ functionuni ellipticavuni, Jacobi avait adopté d'abord d'autres notations, et ©(aKj:), H(2K,r) y représentent ce que nous dénoterions par 27o J^, ^iX. On y a joint ensuite les notations 0, (aKx), H, (2K jr) équivalentes àS^s^et 3,x. Ces désignations, mises en faveur par le succès des Fundamenta, se trouvent dans nombre de Mémoires et d'Ouvrages, notamment dans la plupart des travaux de M. Hcrmite.

Quand il y a lieu de prendre les di'rivées des séries 2r, c'est le plus souvent par rapport à l'argument r, et nous dénoterons ordinairement ces dérivées par des accents : ."^'r, '^'\\ etc.

Addition des demi-périodes et des périodes dans les ^.

D'après la liaison u = 2 0jr entre les arguments u de j, et r de ?j. d'après aussi la définition de 7, rapport de to' à to, on voit que, pour les .C7, les périodes sont i et t, au lieu de aw et 2 co'. Les formules d'addition des demi-périodes et des périodes résultent immédiatement de l'analyse qui précède; elles sont contenues dans les égalités (2), (22), (2y) et la définition de ^3^. Nous avons besoin seulement de les résumer. On les retrouve d'ailleurs facilement comme conséquences des égalités (35), en employant la définition de ijr^u :

^oLti= ^ ^eW, a = i,2,3,

{*) Formeln und Lehrsàtze ziim Gebrauclie der elliptisclien Functionen. M. Weierstrass emploie seulement la lettre li, au lieu do q, que nous avons cru devoir conserver d'après Jacobi.

(-) C.-G.-J. Jacobi's gesaniDicllc ]]'erke (t. I, p. 'ly; ).

254 PREMIÈHE PARTIE. — THÉORIE.

et la propriété générale, où w est une demi-période,

^(zi-t- 2tô) =— :;'«.e2?i("+w'.

Les voici, ordonnées en trois gi'oupes :

S'oli'-i- i) = — 3ii', 2*2 ((' — ()=.- Sa (', '^3{^-^-i)= ^o<'; 2r3(r-f-r)= 27.3 (■;

2ro(r-^^|-) = tV ^e-'-^S-ic, 27o(i' + -) =— ^-•e--'^"2ro(',

2r, (('-;- |-) = àf^e-'^^^jov, 2/,(P ~ t) r:. - 5r-ie-2'-7:..2r,r,

2?o(«'-^ 2-^ 2") = 'Z ^e-'-"2r2c, 2r,,(c — i-i-T)r^ — 7-ie-2w'27or,

2ri(p-"- i--f- H) = (7 *e-'7^''2r3r, 2;i(t^ — i --t) = q~ie-'-''^''?Jii-,

I32(<'-^ 7-T- î") =— '7 ^e~'^''2r„4', 272(p - I — t) — — (7-ic-2/7Xf2;^i'^

Nous recommandons vivement au lecteur de ne faire aucun effort pour fixer ces formules dans sa mémoire.

Série 2r avec l'argument zéro.

Dans les égalités où ne figure pas l'argument, mais seulement les invariants ou les quantités qui en tiennent lieu, interviennent les 3> ou leurs dérivées avec l'argument (^ = o, et nous allons, dans un instant, envisager de telles égalités. Nous écrirons simplement alors '^a., en sous-entendant l'argument zéro. Pour cet argument, ."^i et ses dérivées d'ordre pair sont nulles, les dérivées d'ordre impair des autres '^a. sont nulles. Ces quantités dépendent d'une seule variable </, et s'expriment toutes, conformément à la relation (37); parles dérivées prises par rapport à log^.