CHAPITRE Ylir. — LES SÉRIES

Voici leurs expressions, déduites des égalités (36) :

P' = o, /« = I, 2, 3, . . . -^ ce ,

^1^ a-^C— ij'"+'(2/« — i)<7*

a m — Ir

= iT.q'ii — Zq'^— ^q'' — - q\i -^- ^ ,

(39)\ 3;; = -27:^y(2m~,)2gî'^'"-"^

- 2 X^'"'= I — 2(7 — 2(7*-l- xq^^ . .

{diogqy^

Les quatre fonctions ."^'j , ^2, •'^:!, •'^0, qui dépendent de la seule variable q, sont naturellement liées par trois relations qu'on doit supposer transcendantes. Mais, comme on va le voir dans un instant, deux de ces relations sont algébriques et fort simples. Ecrivons-les immédiatement pour qu'on les trouve ici réunies avec les formules ( Sp). Les voici :

(îo)

Ce sont deux idenlités extrêmement remarquables, qui vont être démontrées, et sur lesquelles nous aurons à revenir dans les applications à la théorie des nombres. Elles sont, toutes deux, dues à Jacobi.

Expression des trois quantités e ^ c'oj par les .:?. Première identité.

Réunissons les trois relations, trouvées précédemmcnl, (21), (29) et (82),

/ 1 Cr •

le - g' CO = 2 W ;r-r ?

Rappelons-nous maintenant l'égalité (VI, 47), sui\ant laquelle la somme des puissances quatrièmes des trois premiers membres est nulle. Nous en déduirons

ce qui est la preuve de la première identité (4o).

Première expression de <?j, e^, e^ par les Sr. Seconde identité ('). Nous avons successivement

pu = r— lojr a' II,

p(« + iOa) = — ^Jogc^(z<-+- wa)

D'après les formules (35), en remplaçant l'indice 4 pai' zéro, on peut écrire d'un seul coup trois formules ainsi

ji(?<^wa)=— — J— 2 N-^.wH- ^lo-S?3j+icj; a = i, 2, 3.

(') Voir dans les OEuvres de Jacobi, t. I, p. 5i5, une démonslralion de celle identité, exlrèracmenl intéressante, et tout à fait dissemblable de celle qu'on trouvera ici.