CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

Faisons u = o, remplaçons •/•/o par l'expression déjà trouvée (20)

observons en outre que Ton a d

et que, pour n = 0, r = o, ?j\ avec les indices 2, 3, o, est nul ; nous obtiendrons de la sorte

D'après les relations (3(j), nous avons

' -2 ^'i*S^'i := El'

et la formule ( i^) peut s'écrire

(42«) 3ea= - n

Mais la somme des trois quantités e^ est nulle; nous avons donc l'identité

Par conséquent, '^f — ^ est une constante indépendante de <y.

Ileportons-nous aux formules (oq) en y supposant ^ = 0; nous

voyons que ^- a pour limite -, ^j-^ et ."^o devenant égales à l'unité.

J^a constante est donc inverse de 7:, et ncjus (jbtenons la seconde identité ( 4*5)

( 1 3 ) S;', = - 3/0 ^:Wo ( f — o ).

Seconde expression de £"1,^2, 63. Expression du discriminant.

— -ow .

Les trois quantités e - ^to, qui figurent aux premiers membres des relations (40? ^^"^ celles qu'au Chapitre VI (48) on a dénotées par U, U', U". D'après l'identité (43)? on peut les écrire aussi sous la forme

210 I T-, 2(0 i ^,„ 2to e '*

(44) U= — sr^, IJ = — ôT^T' ^ "= — ^^~=^' ('— f»)-

Les racines carrées telles que \le^ — ■ e^ s'expriment très simplement en fonction des trois quantités U, suivant des formules (VI, 48 Cl) qui nous donnent maintenant

V^l e-T = e ■* T^TTT, = ^n I

^ ^ - LL" 2w " i

v/e2 — ("s = e i ^^rfr,, = — ^1 / ^''' = o)- U U 20J 1

En premier lieu, élevant au carré les deux membres dans chacune de ces relations, nous avons immédiatement <?,, e^, ^3, dont la somme est nulle,

3^3 = — ( -^ ) (Sj -+-S|), (c^^o).

Extrayant, au contraire, les racines carrées, nous avons

1 \ 2 co Va w

f \/ei — «3 = 1/ — ;53, ((' = o).

Dans ces trois dernières égalités, 1 /-^ a partout la même détermination ; c'est, par exemple, la racine positive si co est la demipériode réelle. Si nous prenons les produits, deux à deux, des trois