CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES ^. sSg

premiers membres, que nous les comparions aux formules (44) cl à celles du Chapitre VI (VI, 44> 45? 4^)? nous reconnaissons immédiatement qu'ici et au Chapitre \1 les quantités y/e, — ^o et les deux analogues sont déterminées de la même manière.

Nous avons adopté (Chap. I et IIIj pour le discriminant A, quant au facteur numérique ('), l'expression

A = i6( ei — e.2'f(e.2— es^iei — eo)-. Daprès les relations(46), nous en déduisons cette expression de A

ce qui se transforme par lidentité (43) en la relation

(47) v^-^ = ^V^^"" ^'^''^ ou, sous une autre forme,

L'expression (20) de r,oj peut subir par là une transformation

(48) r.cu =

I 2ri' I c?log2?'j I ^ cflosAco'^

3 " dlogq 24 dlogq

C'est une relation que nous retrouverons, par une voie toute différente, au Chapitre IX,

Expression des 2; par les 3'.

Les formules (35), jointes à celle (20) qui exprime y.oj, doivent être envisagées comme fournissant les fonctions a" par le moven des fonctions 2;. Nous pouvons maintenant donner les formules inverses : il suffit, à cet effet, dans (35), de remplacer les constantes 3?',, .rJo; 27:j, .^Oî d'argument r = o, par les constantes équivalentes.

(') M. Weicrstrass emploie, pour désii;ncr le discriniinanl, la lettre G et cette lettre représente, non pas A. mais -^ A.

suivant (47) et (4^)- Nous avons, de la sorte,

/ao) 1,

/ 'i to i ; ^ —

Changement des périodes : équivalence.

Nous avons reconnu, au second paragraphe de ce Chapitre, la possibilité de choisir à volonté, pour composer la quantité q, deux demi-périodes quelconques to, to', pourvu que la valeur absolue de

cj = e " soit inférieur à l'unité. En outre, dès le début de ce Chapitre, nous avons admis que ces demi-périodes satisfassent à la relation

Il est clair que tout couple (co, to') satisfaisant à cette double condition laisse à notre analyse toute son exactitude et exigera seulement quelque interversion dans l'ordre des indices pour Cy, 6-2, 63. Nous avons à examiner quels sont ces couples (co, to'). Soient

b'ui'

deux demi-périodes composant un tel couple. Nous avons, en même temps,

et par conséquent

br;, b'r'

■r,Gi' — r^'Ci = iab' — ba'){-r,M' — '"/w) = {ab' — ba') — •

La seconde condition est donc satisfaite si les e/i^fcv^ a, a', 6, b' \érilient la relation

ab' — ba' — i.