CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES ?j

De plus, celte dernière relation exige que a et b', ou b et a' soient à la fois impairs, et û), w' seront effectivement des demi-périodes.

A l'égard de la première condition, supposons lo et oV des quantités imaginaires quelconques, et soient

co = Q -f- j iii , w' = û' -^ i9.\ . 11 en résulte

La valeur absolue (module) de q est e~^^, moindre que Tunité si a est une quantité positive. Ainsi la première condition se ti'a-

duit en ces termes : la partie réelle de t- doit être positive. Sup-

posons qu'il en soit ainsi, ce qui avait lieu effectivement pour les choix faits précédemment.

Prenons maintenant û et tô'. En supposant encore

nous aurons

Q = ail — bil', Ù' = a'Q — b'iî',

ÙiÙ'—9.Ù\ = {ab'— ba){9.iil'—9.9\), et, d'après la condition (5o),

QÛ'i — ô,Q'= QO'j 0,Q'.

D'après (5i), ces deux derniers déterminants ne diffèrent l'un

et l'autre des parties réelles de -r^ et de ^ que par des facteurs

positifs O'-H-O^ et Q--|-Ù^. Le premier étant positif, le second l'est aussi. Donc la condition ( 5o) est la seule à laquelle on soit assujetti pour le choix de w et oj'. Sous le bénéfice de cette condition (5o), le couple (b, ûi' est dit équivalent au couple w, to'.

Échange des indices de e^, e-i, e^.

Prenant maintenant w et d' de cette manière, comment devonsnous modifier les indices de e,, e^, 63? A cette question la réponse est immédiate; nous devons mettre partout

pw, pw', p(w-^w'), au lieu de

Cl, 63, <?2-

En posant

pS> = ei, p(w-4- w') = ^jj., pôi'=e.„

nous aurons en tout six cas distincts, résumés dans le Tableau suivant. Le nombi-e i indique que le coefficients ou a\ etc., au-dessous duquel il est placé, est impair; le nombre o indique, au contraire, que ce coefficient est pair. Les colonnes /, m, n donnent une indication qui sera bientôt expliquée.

II I o 1 I T 3 2 r 3 2

(52) {III I I o I 2 1 3 2 I 3

IV I I 1 o 2 3 I 3 I 2

^ VI o I I I 3 I 2 2 3 I

Ces six cas correspondent aux six permutations des trois indices 1, 2,3.

Les six permutations peuvent être obtenues par la combinaison de deux opérations simples; de même aussi les substitutions, en

nombre infini ( '/')(')' dérivent toutes de deux d'entre elles, par exemple des deux suivantes ( ) ^M )' appartenant aux

cas II et V. C'est, au reste, un sujet sur lequel nous reviendrons avec soin dans la théorie de la transformation.

Changement des périodes dans les fonctions Sr.

Ce changement des périodes to, oï en d'autres équivalentes d», w' entraîne une propriété très importante pour les fonctions 27.

Mettons en évidence les périodes en écrivant, au lieu de ^{v), 3(p1t). Ayant à la fois posé

et observant que A n'est pas changé par l'échange des indices, mais

(') Cette notation abrégée rappelle l'opération qui consiste à remplacer deux quantités w, w' respectivement par aw -i- 610' et a' oi -h è'w'.