CHAPITRE YlII. — LES SÉRIES

que la racine huitième peut l'être, nous aurons d'après (49), en désignant par t une racine huitième de l'unité,

On aura, de même, une double expression pour les autres 3* :

y~ \/co y/ôi

(55) ' -f v/ëi^^='3"= -^-=e-'"''^^'So(t'l-) = S3-^e27,w^î2r«+i('ri;Ti), I y/~ yoj yui

f -^ v'ei-es ^011= — e'--''^-'-'-%((^\-.) = e.2 -^ e^rfiyu] ^^^^^ (Pi KO- \ yTZ y M yG>

Les indices / + i , /;i -+- i , n -{- i , donnés par le Tableau (02), doivent être pris aux multiples près de 4 et réduits à o, 2, 3. Les lettres îf , ^2- ^3 désignent, comme s, des racines huitièmes deTunité, dont la détermination précise exigerait une étude qui serait inutile ici. On les fixe très aisément dans chaque cas particulier. Il suffit d'ailleurs, au point de vue de la théorie, de les fixer pour les deux substitutions particulières dont nous avons parlé tout à l'heure, et dont toutes les autres dérivent. C'est ce que nous allons faire.

La première substitution consiste à remplacer to et oj' par w et w -j- to'. On a donc

ri=P, T, = -: — I, qi=—q.

Qu'on se remette sous les yeux les développements .rr, savoir

{in — xr-

?ji(v\-) = ll.{—i)i+ig * sin(2rt — i)-t',

?jJv\~) =^ •lia * cos(2/i — i)^"~. S'3(p|t) = I -t- l'Lq'^' cosinv-, ^o{v\-z)= i4-2i;(— lYq'^' cosa/ip-,

et l'on reconnaît immédiatement l'exactitude des résultats suivants, relatifs à ce cas :

/ iiz

^56) { 2-2(t'|-r) = e^^3r,(i^lT-M),

^3(p|t)= 2ro((^|T-i-i),

La seconde suLslitution consiste à remplacer co par co' el co' par — w; c'est celle dont nous avons déjà parlé maintes fois, et qui provient du changement de ^3 en — ^0^3, On a, en ce cas,

I (' -'-^ 0/ to

Vr

En déterminant, comme nous allons l'expliquer, les multiplicateurs £, on obtient les formules suivantes :

(57) ( /- „i!Lii /

Pour vérifier l'exactitude du coefficient, envisageons la formule qui relie les deux fonctions 2^3, et observons d'abord que ces deux fonctions deviennent identiques pour r = o, si l'on suppose la valeur particulière t = t. Remarquons que la supposition indispensable sur le signe de la partie réelle de -7— entraîne pour - la

condition que sa partie imaginaire soit positive; on peut donc bien supposer le cas t= /, et l'on ne pourrait pas supposer t = — /.

On voit donc bien que le coefficient est 1/ - ' dont il faut seulement préciser le signe.

Puisque la partie imaginaire de t est positive, la partie réelle de

- l'est aussi. Comme cette partie réelle ne peut jamais passer

par zéro, sans que la convergence des séries cesse, car alors la valeur absolue de q passerait par l'unité, il en sera tout

autant pourt /- dont, par conséquent, la partie réelle conserve

CnAPITRE VIII. — LES SÉRIES 2?. 265

toujours un même signe. Or, pour t = / , les deux membres (si r = o) sont identiques et i/- doit être pris égal à H- i . Donc

dans la troisième formule on doit prendre pour 4/ - la détermination dans laquelle la partie réelle est positive. Il en est de même dans les autres formules, qui se déduisent de celle-là par le moyen des formules (38 A, B, G).

Au point de vue théorique, ces dernières relations ont une importance très grande pour la transformation. Ici, au point de vue du développement des fonctions elliptiques en séries, l'importance n'est pas moindre, à cause de la facilité qu'elles nous fournissent pour choisir les séries réelles les plus convergentes. C'est ce qu'on va comprendre immédiatement par le résumé que nous allons faire .

Résumé des formules pour le calcul des fonctions ■^.

I. DiscraMi^ATST positif. — Nous désignerons par oj, la demipériode réelle, par Wg la demi-période purement imaginaire. Voici la première représentation réelle des constantes elliptiques par les deux quantités réelles et positives co, et q, puis celle des fonctions par ces quantités et un argument. La quantité q est moindre que r uni té.

T = -losr nat f - )

OJ-5 = tO| '

I — 3q--^ 5<rj''

Awj 4/- 4,-

AcO, 4/

1/ -|^ v^ei — es = I -^ 2^

iq* ^- iq^ nq -^■iq'* — -iq^

Toutes ces racines sont réelles et positives.

Wl8/-r

^ \'e\. — ez :foU = e2r,,w,.'-- 2;^((,,^ ^)^

ei — e-i cfs u = e-2-''iiWi"- iïuCt.-, q).

Il est bon de se remettre ici sous les yeux les expressions explicites des fonctions .3; :

3^j(Pj g) = 2 v'^ ( sin^'- — q- s'ia^vT. -it- q^ s'inôvT. — q^- s\n-^VT.. . .), 2r2(f, q) = 1 \ q (cosr- -+- q'^ cosSptt -i- q^ cosSpt: -^- ^^^ cosjf -. . .). 2^3(1', q) = i-^-iq COSIVT. — 25r+co«4 '""-*- "^^^ cos6t"- — 25'^'' cosSt'- . . . 27o(t', <7) = I — 2<7 cos2fT: -^iq* cos4 f - — iq"^ cos6p- -i- 2<7*^ cosSi't:, . ..

L'emploi de ces formules est à recommander dans le cas où «"3 est

positif. On a vu (Chapitre II) qu'alors -i est supérieur à to,. En ce

cas, '- est supérieur à l'unité, et q moindre que e~~= o,o432i ....

La convergence des développements est alors extrêmement rapide. Voici maintenant le second mode, à recommander pour le cas où ^3 est négatif. Les développements ont lieu suivant les puissances à exposants croissants de q^

qi=e ', qui, en ce cas, est, à son tour, réel, positif, moindre que e^~.

-•- l — ^^q-i -^i^ql —:^q

12 i—'iqi-^Jqt — 7^j\---

fi ■ ^12

Cl — 60 = 2 v'<7i(i — 'Zî -^q'i -^q

-T;jrv'^i — «3 = i-^iq\-^iq\-^iq\-^...,

y -JZ: \/ e^ — es = i — iqi-^ iqi — 2q\ -h . . . ,