CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES S

Ici encore, toutes les racines sont réelles et positives. En posant

ensuite

on aura les formules

'^yi:iu = ie^-ni<^^^\ H7,(('i, «71),

72013 ye^e^ 3-j „ ^ eîïl^O).''! ^o(t^i, 7i)» l/^V^^i^^-2« = e^-I.W.C; 2-3(^1, ^yj)^

On remarquera que, u étant réel, p, est purement imaginaire; les seconds membres perdent alors l'aspect trigononiétrique; les sinus et cosinus se remplacent par des exponentielles réelles. Ils reprennent, au contraire, la forme Irigonométrique quand u est purement imaginaire. Pour les formules (A), les faits se passent dans l'ordre inverse. Dans les applications où, sans avoir égard à la rapidité de la convergence, on veut mettre en évidence une période, on prendra l'un ou l'autre mode de développement suivant que u sera réel ou purement imaginaire.

II. Discriminant négatif. — Nous désignons, comme auparavant, par (Oo la demi-période réelle, par w', 1^ demi-période purement imaginaire. On se rappellera que nous avons posé

Il ne convient pas, dans les applications, de prendre pour t le rapport CO3 : to, ; car ^ ne serait ni réel, ni purement imaginaire.

Nous prendrons deux modes de représentation; dans le premier, on aura

OJ = CO2 = OJi -^ 0)3, Oj' = i (0)2 -V- Oj', ) ^ OJ3.

Il appartient, comme on voit, au cas III du Tableau (02) / = 2, m = I, n = 3.

On aura alors

Oj'

I I OJ

Tï '-^ —

En faisant

on voit que la quantité q correspondante sera

Wq',

et q' est réelle et positive, inférieure à l'unité. Quand ,^3 est positif, q' est moindre que e~'^(Chap. III).

On se rappellera que e-^ est réel, g) et e-^ imaginaires conjuguées, et que ej a sa partie imaginaire positive. Voici, d'après nos formules générales, la représentation des constantes et des fonctions, au moyen des données (Oo, q' , quantités réelles et positives, la seconde inférieure à l'unité.

-: = - Vos. nal

(58C) { qi=i\/~q',

T,2 Oj'., — '/"/, (jJo = i~, ''2OJ.2 i

12 I -r- Sg'' — bq'

iq

Dans cette dernière formule les deux membres sont réels et positifs. Pour les deux autres analogues, nous ferons les deux combinaisons réelles suivantes :

I -1/ —;^ 1/^2— «3 -4- V/«Î2— ej = 1-4-25^^— 27«-i-2<7 32^__)^

(58C) -Là/^(yeT=T3 - ^e"r^) = 2 /^(i-f- ^'^-f- ^'12-+- ^'21^...),

^ V^^n ::-?< = e2r,,03,..- e~ "T Sj ( (^, 5-2 ),

^^ /e. — ^3 - 1 « = e20.W jl'- ;J3 ( p^ ^, -j^

'e2 — ei J3iA = e-^j

(.inMi.y' •=: