CHAPITRE YIII. — LES SÉRIES

Pour ces fonctions ?j, la quantité analogue à Test 7,^^(1 -h ":'). Dans le second mode de représentation, on prendra

oj = to'2 ^ CO3 — coj, co' = — Wi = J ( w', — 102).

II appartient, comme on voit, au cas IV du Tableau; l'ordre est / — 3 , /n = I , /i = 2 ;

T, , (jJ ., =

i-f-Sî^"— o3^"3— 73 5r'«

lUj.-,4/;; ^ • 8/";;

-j^Vie-i— ei)i = i\/q {l — q — 7 -^-^ <7 « + . . .),

(58D) / ^l/^-(v^^i— ^2-H v^es— ^2)= i -r-iq"'^-^ icj"»-t- ^r/^-^ . . .,

« = 2C02i^, qi=^ yqi

-T— v — Ajif = «e ■" e '^ ^i{i-' , q 2),

I /2102 w- — 2r,^«V'^ -'to. / - > s

D) < 1/ -^ v'Ce.î— e,)i3'2H= e e «.v^r.^j)'

/2to'., W 2r,3Wji^'- ^

2lO.> iy

Au sujet de la réalité de u, ç, r', les observations sont ici les mêmes que pour le cas du discriminant positif. Les radicaux sont choisis comme il suit: i" y — A et ((^3 — e,)/, qui sont réels, sont pris positivement; 2" posant Co — 63= pe^'^, e^ — e, = p^"''^, on choisit 'I entre zéro et -, conformément à la convention que c, ait sa partie imaginaire positive, et l'on prend

dans les formules (C); tandis que l'on doit prendre

•!/-Tr

V'e^— e, =. ^'pe i , v'ei — e». = (/pe * ,

dans les formules (D).

Calcul de q. Cas A > o.

Dans les applications où Ton doit faire des calculs numériques, il arrive d'ordinaire que les données sont e, , eo , 63 ou des quan tités équivalentes, et, en outre, la valeur numérique de p pour quelques arguments; puis ces arguments interviennent ensuite d'une manière quelconque dans les formules. On a donc besoin de calculer : 1° q et une période ; 2" les arguments a donnés parla valeur numérique de pu.

Les formules qui précèdent fournissent, à cet effet, des moyens dont l'usage est très commode. Nous allons raisonner sur le cas (A) où le discriminant est positif, ainsi que g%'^ par conséquent e.> -< o. Les conclusions s'étendront facilement aux trois autres cas.

Pour le calcul de q^ prenons les deux formules

/ UJ,

ei = i

ÎWi

Vei —

et concli

ions 1 1

— \/ei -

.q'-^ "Xq^^ — . .

-Kq''

On peut delà tirer par voie de récurrence le développement de

q suivant les puissances ascendantes de ( - ) • Il ne contient que les

exposants multiples de 4> pins i, et les coefficients sont des nombres entiers. On peut démontrer que ce développement converge quand / est inférieur à l'unité en valeur absolue ; mais nous ne considérerons pas la convergence de cette série, que nous envisagerons seulement comme une formule d'approximation. En effet, nous savons déjà que q est inférieur à e~'^ 0;0432i . . . , et la for-