IC
p'ii — p V = — . (a -h b -\- c)[c -~ i{b — (7, )]
= (i -f- i) c{a -^ b -T- c) [c -~- i{b — «)]. D'autre part, nous avons
fiu — pi^ = e^ — es -I- ic{b — a) — c[c -\- i{b — a)]. Donc le rapport cherché a pour expression simple
^ = (l-f- j) (rt-4- 6-4- c).
Cherchons les fonctions p et p' pour l'argument a>= — (ii-{-i'). Nous aurons d'abord
p(v-^ pu-h-pv = l^^ = - (a -^ b -{- cy ^ i(ab -^ bc -\- ca),
p u -^ p V = eQ^-\- ei^ -h i{bc -^ ca) =^ — ey-h i{bc -i- cà), pw = Cy -i- iab.
D'après le théorème d'addition, le rapport ç reste inaltéré quand on permute u^ p, (v; d'autre part, jdw, pv^ pw se déduisent les uns des autres par permutation de «, b, c. Donc, sans recommencer le calcul de ^, on peut écrire immédiatement
p'w = liabl^b -f- j«).
Nous avons donc ce groupe remarquable de formules pour les fjuarts de période
pu z^ Crx^ ibc, pv = ep -f- ica, p w = Cy -4- lab ;
pu = 2 ibc (c -i- ib)^ p'v = a ica (a -i- ic ), p'w ^ iiab{ b -\- ia)\
i< -t- f -t- IV = o.
Par les changements des signes de /', a, b, c, ces formules conviennent à l'addition d'un quelconque des arguments -^ avec un
([iielconqne des arguments — ^ ou — ^ •
Soient a = I , [j = ■>., y = 3, et choisissons les racines carrées c/, 6, c ainsi :
a = sj e-i — c'3 , 6 = î V t-'i — Cil <^ = — V <^i — ^2 •
Nous aurons
pu = ei-\- ^ei — c's s/e^ — e^ ,
p'u = — %sJe\ — ^3 y/ei — e2(v/ei — e-^ -\- s/ei — e-y),
pw = ^3 — v/ei — ^3 \/e^ — es ,
p'w = — 2^/^2 — 63 /ei — es (v/e, — es + /e, — es), et, par conséquent,
pt^ = ea— tv/e2 — «s v/^i — eo, ) co -î- w'
pV = — li^e-i — es y/ei — e^^yije^ — es — «V^i — ^a); ; ^
Comme to est réel et w' purement imaginaire, on n'aura qu'à changer, dans ces dernières formules, i en — i pour avoir les for-
mules convenant a 1 argument ; — • Le problème est entièrement résolu, et nous pouvons résumer la solution dans le tableau suivant, où tous les radicaux sont pris positivement :
p'- = — 2(ei— es) y/ei — e. — 2(ei— ej) /ci — es ; > ( - -i- w' j = <?i — v/ei — ea sje^ — e^ , (2''^ ^'1 = 2(ei — es) /ei — e, — 2(ei — ea) /ei — e» ; p — = es — /ea — es y/ei — es ,
p'— = — 2i(ei — es) /ea — es — 2j(^2 — es) v/ej — e
^(t~'~^'*) ~ ^^ + v/ea — es s/e^ — e^,
p'/ h w j = 2t(ei — es) s/e-i — e-i — liie^— e{) /ej— e»;
= Cï—i vea — es vei — ea,
2(ei — ea) sj e-i — es + liie^— es) /ei — e^:
to -f- fo'
to
to'
= eo -H J v/ea — es /ei — ea ,
= 2(ei — e2)/e2 — es — 2i(e2— es) /e, — Co.
Définition directe de pu.
Sans passer par rintermédialre de sn«^, on peut envisager j);f comme uniquement défini par la relation
(23) p'hi = ^p^u — s^opu — ^3 = 4(P« — ei)(P« — e2)(p«' — es),
de la manière suivante. Les coefficients î^-^i ^"3 étant réels et <?, désignant la plus grande racine réelle, envisageons l'intégrale définie
dont nous appelons pu la limite inférieure variable, et faisons décroître cette limite pu de H- oc à Ci. La fonction intégrée est toujours réelle et positive (le radical étant pris positivement), en sorte que u croit constamment. Appelons oj le maximum de u ou l'intégrale complète
=. r dy = r —
Je /4j'— ^2j — ^3 Je. 2/
dv
Delà sorte, pu se trouve être inversement une fonction réelle de u^ décroissant constamment de + 00 à e, et, par conséquent, dépourvue d'ambiguïté. Elle est définie pour toutes les valeurs de u comprises entre zéro et to.
En même temps, p'u se trouve aussi défini, comme égal au radical, pris iiégativetnent, puisque pu est une fonction déci'oissante.
Par ces définitions, Cx ==pt'3 est le minimum de pu et p'to est
nul. On reconnaît facilement aussi (p. 71) que ipu \ devient
nul avec ?/, a toutes ses dérivées finies pour ;/ = o et que les dérivées d'ordre impair sont nulles. On aura donc une fonction continue et restant finie de — to à -h eu, en convenant de prendre pour
{pu — -^ ] une fonction paire; par conséquent, on étend naturellement la définition de pu à lintervalle ( — (o, o>) par la convention
(25) p{—u)=pu,
(|ui entraîne celle-ci
De celle manière, à chaque couple de valeurs pu, p'u, où pu est supérieur à e, et p'u réel et quelconque, correspond un argument unique it, compris entre — w et h- m.
Pour prolonger maintenant la définition en dehors des limites ( — (0, -H w), observons les dérivées successives de pu, déduites de {'2?)). On a successivement
p"u =Gp2„ 1 ^2^
p"'ll= I2piip'l(,
p''' Il = \2pu p"u -{- ]2p'~ a = io.iiop^ u — V ^2 pu — ,^s)j
11 est manifeste que les dérivées d'ordre pair sont des polynômes entiers en pu, tandis que les dérivées d'ordre imjiair sont de tels polynômes, multipliés j)av p'n. Comme p'o) est nul, il s'ensuit que les dérivées d'ordre impair sont toutes nulles pour u = oi. La continuité exige donc que l'on prolonge la définition en posant
(■27) p{(M-^ a) = p{lo — II.),
ce qui entraîne
(•iS) ji'(oj-+- h) = --ji'(co — ?<).
Ces deux relations, jointes à (ao) et (26), donnent la propriété
(•29) p{i>n(.o zt: u) =■ p II, p'('i/)i(.o ^ u) =^± p'u,
contenant à la fois les deux précédentes. Les fonctions p et p' se trouvent maintenant définies pour toutes les valeurs réelles de u; (.'Iles sont périodiques, leur période est 2co. Si, dans l'égalité (a/i), on fait
7^;^Y, ^2=;j.2G2, ^3=-;j.3G3, « = — : , pu= ixr(U), on obtient une égalité toute semblable
GoY-G,
CllAP. II. — ARGUMENTS IMAGIXAIRES. — DOUBLE PÉRIODICITÉ. ^)']
De là découle la propriété relative à riiomogénéité; car on a, en conséquence,
